Номер 1029, страница 190 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S_1 = 1,0 \text{ мм}^2$

$k_1 = 10 \% $

$k_2 = 1,0 \% $

$S_1 = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$k_1 = 0,10$
$k_2 = 0,01$

Найти:

$S_2$ - ?

Решение:

Электрический прибор, имеющий сопротивление $R_{пр}$, подключен к источнику постоянного тока с напряжением $U_0$. Подключающие провода также имеют сопротивление. Поскольку к прибору идут два провода одинаковой длины $L$ и площади поперечного сечения $S$, их общее сопротивление будет $R_{пров} = \rho \frac{2L}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала проводов.

Прибор и провода соединены последовательно, поэтому общее сопротивление цепи равно $R_{общ} = R_{пр} + R_{пров}$. Сила тока в цепи по закону Ома: $I = \frac{U_0}{R_{общ}} = \frac{U_0}{R_{пр} + R_{пров}}$.

Падение напряжения на проводах составляет $\Delta U = I \cdot R_{пров}$. В условии сказано, что напряжение на приборе меньше напряжения источника на величину $k$, что соответствует падению напряжения на проводах. Таким образом, $\Delta U = k \cdot U_0$.

Приравняем два выражения для $\Delta U$:

$k \cdot U_0 = I \cdot R_{пров} = \frac{U_0}{R_{пр} + R_{пров}} \cdot R_{пров}$

Сократив $U_0$, получаем соотношение:

$k = \frac{R_{пров}}{R_{пр} + R_{пров}}$

Выразим из этой формулы сопротивление прибора $R_{пр}$, которое остается неизменным в обоих случаях:

$k(R_{пр} + R_{пров}) = R_{пров}$

$k \cdot R_{пр} = R_{пров} - k \cdot R_{пров} = R_{пров}(1-k)$

$R_{пр} = \frac{R_{пров}(1-k)}{k}$

Запишем это выражение для двух случаев.

В первом случае (с проводами сечением $S_1$):

$R_{пров1} = \rho \frac{2L}{S_1}$

$R_{пр} = \frac{R_{пров1}(1-k_1)}{k_1}$

Во втором случае (с проводами сечением $S_2$):

$R_{пров2} = \rho \frac{2L}{S_2}$

$R_{пр} = \frac{R_{пров2}(1-k_2)}{k_2}$

Так как сопротивление прибора $R_{пр}$ не меняется, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\frac{R_{пров1}(1-k_1)}{k_1} = \frac{R_{пров2}(1-k_2)}{k_2}$

Подставим формулы для сопротивлений проводов:

$\frac{\rho \frac{2L}{S_1}(1-k_1)}{k_1} = \frac{\rho \frac{2L}{S_2}(1-k_2)}{k_2}$

Сократим общие множители $\rho \cdot 2L$:

$\frac{1-k_1}{S_1 k_1} = \frac{1-k_2}{S_2 k_2}$

Выразим искомую площадь сечения $S_2$:

$S_2 = S_1 \cdot \frac{k_1(1-k_2)}{k_2(1-k_1)}$

Подставим числовые значения:

$S_2 = 1,0 \text{ мм}^2 \cdot \frac{0,10 \cdot (1-0,01)}{0,01 \cdot (1-0,10)} = 1,0 \cdot \frac{0,10 \cdot 0,99}{0,01 \cdot 0,90} = 1,0 \cdot \frac{0,099}{0,009} = 1,0 \cdot 11 = 11 \text{ мм}^2$

Ответ: $S_2 = 11 \text{ мм}^2$.