Номер 1033, страница 190 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_2 = \frac{R_1}{3}$ (сопротивление реостата уменьшили втрое)

$U_2 = 2 \cdot U_1$ (показание вольтметра возросло вдвое)

$R_3 = 0$ (сопротивление реостата уменьшили до нуля)

Найти:

$\frac{U_3}{U_1}$ (во сколько раз изменится показание вольтметра)

Решение:

Обозначим ЭДС источника тока как $\mathcal{E}$, его внутреннее сопротивление как $r$, сопротивление реостата как $R$, а сопротивление вольтметра как $R_V$.

Из условия задачи «к источнику постоянного тока через реостат подключен вольтметр» следует, что источник, реостат и вольтметр соединены последовательно.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$ в такой цепи равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{r + R + R_V}$

Вольтметр измеряет напряжение на своих клеммах, которое рассчитывается как $U = I \cdot R_V$. Таким образом, показание вольтметра $U$ равно:

$U = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R + R_V}$

Рассмотрим три состояния цепи, описанные в задаче.

1. В начальном состоянии сопротивление реостата равно $R_1$. Показание вольтметра $U_1$:

$U_1 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R_1 + R_V}$

2. Во втором состоянии сопротивление реостата уменьшили втрое, $R_2 = \frac{R_1}{3}$, а показание вольтметра возросло вдвое, $U_2 = 2 \cdot U_1$. Запишем выражение для $U_2$:

$U_2 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R_2 + R_V} = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + \frac{R_1}{3} + R_V}$

Подставим выражения для $U_1$ и $U_2$ в условие $U_2 = 2 \cdot U_1$:

$\frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + \frac{R_1}{3} + R_V} = 2 \cdot \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R_1 + R_V}$

После сокращения на $\mathcal{E} \cdot R_V$ (так как они не равны нулю), получаем:

$\frac{1}{r + \frac{R_1}{3} + R_V} = \frac{2}{r + R_1 + R_V}$

Из этого уравнения следует:

$r + R_1 + R_V = 2 \cdot (r + \frac{R_1}{3} + R_V)$

$r + R_1 + R_V = 2r + \frac{2}{3}R_1 + 2R_V$

$R_1 - \frac{2}{3}R_1 = 2r - r + 2R_V - R_V$

$\frac{1}{3}R_1 = r + R_V$

3. В конечном состоянии сопротивление реостата уменьшают до нуля, $R_3 = 0$. Показание вольтметра $U_3$ будет:

$U_3 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + 0 + R_V} = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R_V}$

Требуется найти, во сколько раз изменится показание вольтметра, то есть найти отношение $\frac{U_3}{U_1}$.

$\frac{U_3}{U_1} = \frac{\frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R_V}}{\frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R_1 + R_V}} = \frac{r + R_1 + R_V}{r + R_V}$

Используем найденное ранее соотношение $\frac{1}{3}R_1 = r + R_V$. Выразим числитель через $r$ и $R_V$: $R_1 = 3(r+R_V)$.

Подставим это в искомое отношение:

$\frac{U_3}{U_1} = \frac{r + 3(r+R_V) + R_V}{r + R_V} = \frac{r + R_V + 3(r+R_V)}{r + R_V} = \frac{4(r + R_V)}{r + R_V} = 4$

Ответ: Показание вольтметра возрастет в 4 раза.