Номер 1135, страница 207 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Количество элементов в батарее, $n = 12$
ЭДС одного элемента, $\mathcal{E} = 23$ В
Внутреннее сопротивление одного элемента, $r = 3,6$ Ом
Сопротивление ванны с нитратом серебра (AgNO₃), $R_1 = R_{Ag} = 12$ Ом
Сопротивление ванны с хлоридом золота (AuCl₃), $R_2 = R_{Au} = 18$ Ом
Промежуток времени, $\Delta t = 1,0$ ч
Молярная масса золота (Au), $M_{Au} = 197 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Валентность золота в AuCl₃, $z_{Au} = 3$
Молярная масса серебра (Ag), $M_{Ag} = 108 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Валентность серебра в AgNO₃, $z_{Ag} = 1$
Постоянная Фарадея, $F = 96485$ Кл/моль

Перевод в СИ:
$\Delta t = 1,0 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

Найти:
Массу золота $m_1$ и массу серебра $m_2$ для последовательного и параллельного соединений ванн.

Решение:

Масса вещества, выделившегося на электроде при электролизе, определяется по объединенному закону Фарадея:
$m = \frac{M}{zF} I \Delta t$,
где $M$ - молярная масса вещества, $z$ - валентность его ионов, $F$ - постоянная Фарадея, $I$ - сила тока, $\Delta t$ - время электролиза.

Батарея состоит из $n$ последовательно соединенных элементов, поэтому ее полная ЭДС $\mathcal{E}_{общ}$ и полное внутреннее сопротивление $r_{общ}$ равны:
$\mathcal{E}_{общ} = n\mathcal{E} = 12 \cdot 23 \text{ В} = 276 \text{ В}$
$r_{общ} = nr = 12 \cdot 3,6 \text{ Ом} = 43,2 \text{ Ом}$

1. Последовательное соединение ванн

При последовательном соединении общее внешнее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений ванн:
$R_{внеш} = R_{Ag} + R_{Au} = 12 \text{ Ом} + 18 \text{ Ом} = 30 \text{ Ом}$

Полное сопротивление цепи по закону Ома для полной цепи:
$R_{полн} = R_{внеш} + r_{общ} = 30 \text{ Ом} + 43,2 \text{ Ом} = 73,2 \text{ Ом}$

Сила тока в цепи, которая одинакова для обеих ванн:
$I = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R_{полн}} = \frac{276 \text{ В}}{73,2 \text{ Ом}} \approx 3,77 \text{ А}$

Теперь можем рассчитать массы выделившихся металлов.
Масса золота ($m_1$):
$m_1 = \frac{M_{Au}}{z_{Au} F} I \Delta t = \frac{197 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{3 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \cdot 3,77 \text{ А} \cdot 3600 \text{ с} \approx 9,24 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 9,24 \text{ г}$

Масса серебра ($m_2$):
$m_2 = \frac{M_{Ag}}{z_{Ag} F} I \Delta t = \frac{108 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{1 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \cdot 3,77 \text{ А} \cdot 3600 \text{ с} \approx 15,2 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 15,2 \text{ г}$

Ответ: При последовательном соединении выделится масса золота $m_1 \approx 9,24$ г и масса серебра $m_2 \approx 15,2$ г.

2. Параллельное соединение ванн

При параллельном соединении общее внешнее сопротивление цепи находится по формуле:
$R'_{внеш} = \frac{R_{Ag} R_{Au}}{R_{Ag} + R_{Au}} = \frac{12 \text{ Ом} \cdot 18 \text{ Ом}}{12 \text{ Ом} + 18 \text{ Ом}} = \frac{216}{30} \text{ Ом} = 7,2 \text{ Ом}$

Полное сопротивление цепи:
$R'_{полн} = R'_{внеш} + r_{общ} = 7,2 \text{ Ом} + 43,2 \text{ Ом} = 50,4 \text{ Ом}$

Общая сила тока, идущая от батареи:
$I'_{общ} = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R'_{полн}} = \frac{276 \text{ В}}{50,4 \text{ Ом}} \approx 5,48 \text{ А}$

Напряжение на внешнем участке цепи (одинаковое для обеих ванн):
$U_{внеш} = I'_{общ} \cdot R'_{внеш} \approx 5,48 \text{ А} \cdot 7,2 \text{ Ом} \approx 39,46 \text{ В}$

Силы тока, протекающие через каждую из ванн:
Ток через ванну с золотом: $I_{Au} = \frac{U_{внеш}}{R_{Au}} \approx \frac{39,46 \text{ В}}{18 \text{ Ом}} \approx 2,19 \text{ А}$
Ток через ванну с серебром: $I_{Ag} = \frac{U_{внеш}}{R_{Ag}} \approx \frac{39,46 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} \approx 3,29 \text{ А}$

Рассчитаем массы выделившихся металлов для этого случая.
Масса золота ($m'_1$):
$m'_1 = \frac{M_{Au}}{z_{Au} F} I_{Au} \Delta t = \frac{197 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{3 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \cdot 2,19 \text{ А} \cdot 3600 \text{ с} \approx 5,37 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 5,37 \text{ г}$

Масса серебра ($m'_2$):
$m'_2 = \frac{M_{Ag}}{z_{Ag} F} I_{Ag} \Delta t = \frac{108 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{1 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \cdot 3,29 \text{ А} \cdot 3600 \text{ с} \approx 13,2 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 13,2 \text{ г}$

Ответ: При параллельном соединении выделится масса золота $m'_1 \approx 5,37$ г и масса серебра $m'_2 \approx 13,2$ г.