Номер 1700, страница 309 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса ядра трития ${}_1^3\text{H}$: $m_{{}_1^3\text{H}} = 3,01604 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра гелия ${}_2^3\text{He}$: $m_{{}_2^3\text{He}} = 3,01605 \text{ а.е.м.}$

Масса протона: $m_p \approx 1,00728 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n \approx 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_0 = 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

Найти:

$E_{св1}$, $E_{св2}$, $\epsilon_{св1}$, $\epsilon_{св2}$, сравнить устойчивость ядер.

Решение:

Энергия связи ядра — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов. Она определяется дефектом масс $\Delta m$ согласно соотношению Эйнштейна:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммарной массой нуклонов, составляющих ядро, и массой самого ядра:

$\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{ядра}$

где $Z$ – число протонов, $N$ – число нейтронов, $A = Z+N$ – массовое число, $m_p$ и $m_n$ – массы протона и нейтрона, $m_{ядра}$ – масса ядра.

Удельная энергия связи — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре. Она является мерой устойчивости ядра.

$\epsilon_{св} = \frac{E_{св}}{A}$

Определение энергий связи $E_{св1}$ и $E_{св2}$ и удельных энергий связи $\epsilon_{св1}$ и $\epsilon_{св2}$

Расчет для ядра трития ${}_1^3\text{H}$:

Ядро трития состоит из $Z_1 = 1$ протона и $N_1 = A_1 - Z_1 = 3 - 1 = 2$ нейтронов.

Суммарная масса составляющих его нуклонов:

$m_{нукл1} = Z_1 \cdot m_p + N_1 \cdot m_n = 1 \cdot 1,00728 + 2 \cdot 1,00866 = 3,02460 \text{ а.е.м.}$

Дефект масс ядра трития:

$\Delta m_1 = m_{нукл1} - m_{{}_1^3\text{H}} = 3,02460 - 3,01604 = 0,00856 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи $E_{св1}$ ядра трития:

$E_{св1} = \Delta m_1 \cdot 931,5 \frac{МэВ}{а.е.м.} = 0,00856 \cdot 931,5 \approx 7,97 \text{ МэВ.}$

Удельная энергия связи $\epsilon_{св1}$ ядра трития:

$\epsilon_{св1} = \frac{E_{св1}}{A_1} = \frac{7,97 \text{ МэВ}}{3} \approx 2,66 \frac{МэВ}{нуклон}.$

Расчет для ядра гелия ${}_2^3\text{He}$:

Ядро гелия-3 состоит из $Z_2 = 2$ протонов и $N_2 = A_2 - Z_2 = 3 - 2 = 1$ нейтрона.

Суммарная масса составляющих его нуклонов:

$m_{нукл2} = Z_2 \cdot m_p + N_2 \cdot m_n = 2 \cdot 1,00728 + 1 \cdot 1,00866 = 3,02322 \text{ а.е.м.}$

Дефект масс ядра гелия-3:

$\Delta m_2 = m_{нукл2} - m_{{}_2^3\text{He}} = 3,02322 - 3,01605 = 0,00717 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи $E_{св2}$ ядра гелия-3:

$E_{св2} = \Delta m_2 \cdot 931,5 \frac{МэВ}{а.е.м.} = 0,00717 \cdot 931,5 \approx 6,68 \text{ МэВ.}$

Удельная энергия связи $\epsilon_{св2}$ ядра гелия-3:

$\epsilon_{св2} = \frac{E_{св2}}{A_2} = \frac{6,68 \text{ МэВ}}{3} \approx 2,23 \frac{МэВ}{нуклон}.$

Ответ: Энергия связи ядра трития $E_{св1} \approx 7,97 \text{ МэВ}$, удельная энергия связи $\epsilon_{св1} \approx 2,66 \text{ МэВ/нуклон}$. Энергия связи ядра гелия $E_{св2} \approx 6,68 \text{ МэВ}$, удельная энергия связи $\epsilon_{св2} \approx 2,23 \text{ МэВ/нуклон}$.

Какое из этих ядер более устойчиво?

Устойчивость атомного ядра определяется величиной удельной энергии связи. Чем больше удельная энергия связи, тем прочнее и, следовательно, устойчивее ядро.

Сравним полученные значения удельных энергий связи:

$\epsilon_{св1} ({}_1^3\text{H}) \approx 2,66 \frac{МэВ}{нуклон}$

$\epsilon_{св2} ({}_2^3\text{He}) \approx 2,23 \frac{МэВ}{нуклон}$

Поскольку удельная энергия связи ядра трития больше, чем у ядра гелия-3 ($\epsilon_{св1} > \epsilon_{св2}$), ядро трития является более устойчивым.

Ответ: Ядро трития ${}_1^3\text{H}$ более устойчиво, так как его удельная энергия связи больше, чем у ядра гелия ${}_2^3\text{He}$.