Номер 1695, страница 308 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 1,0 \text{ г} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$t_1 = 1,0 \text{ с}$

$N_1 = 3,7 \cdot 10^{10}$

$V = 1,0 \text{ см}^3 = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$m_2 = 0,1 \text{ мкг} = 0,1 \cdot 10^{-9} \text{ кг} = 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ кг}$

$t_2 = 1 \text{ год} = 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3,15 \cdot 10^7 \text{ с}$

$t = 15 \text{ °C}$

$T = 15 + 273,15 \approx 288 \text{ К}$

Постоянная Больцмана $k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Найти:

$p$

Решение:

Количество ядер гелия, образующихся при радиоактивном распаде, пропорционально массе радиоактивного вещества и времени наблюдения, если это время значительно меньше периода полураспада. Период полураспада радия-226 составляет около 1600 лет, что намного больше одного года, поэтому данное условие выполняется, и мы можем считать скорость распада постоянной.

Сначала найдем, сколько ядер гелия $N_2$ образуется в ампуле с радием массой $m_2$ за время $t_2$. Для этого составим пропорцию, исходя из данных для распада радия массой $m_1$ за время $t_1$:

$\frac{N_2}{m_2 t_2} = \frac{N_1}{m_1 t_1}$

Отсюда выразим искомое число ядер $N_2$:

$N_2 = N_1 \frac{m_2 t_2}{m_1 t_1}$

Образовавшийся гелий (ядра гелия быстро захватывают электроны и становятся атомами) можно считать идеальным газом. Его давление в ампуле можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Клаузиуса):

$p V = N_2 k_B T$

где $p$ – давление гелия, $V$ – объем ампулы, $k_B$ – постоянная Больцмана, а $T$ – абсолютная температура гелия.

Выразим давление $p$:

$p = \frac{N_2 k_B T}{V}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $N_2$, полученное ранее:

$p = \frac{N_1 m_2 t_2 k_B T}{m_1 t_1 V}$

Подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$p = \frac{3,7 \cdot 10^{10} \cdot 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ кг} \cdot 3,15 \cdot 10^7 \text{ с} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 288 \text{ К}}{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 1,0 \text{ с} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}$

Проведем вычисления:

$p = \frac{(3,7 \cdot 1,0 \cdot 3,15 \cdot 1,38 \cdot 288) \cdot (10^{10} \cdot 10^{-10} \cdot 10^7 \cdot 10^{-23})}{1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-6}} \text{ Па}$

$p \approx \frac{4632 \cdot 10^{-16}}{10^{-9}} \text{ Па} = 4632 \cdot 10^{-7} \text{ Па}$

Приведем ответ к стандартному виду и округлим до двух значащих цифр, как в большинстве исходных данных:

$p \approx 4,6 \cdot 10^3 \cdot 10^{-7} \text{ Па} = 4,6 \cdot 10^{-4} \text{ Па}$

Ответ: $p \approx 4,6 \cdot 10^{-4}$ Па.