Номер 1698, страница 308 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Масса алюминия, $M = 1,0 \cdot 10^2 \text{ т} = 1,0 \cdot 10^5 \text{ кг}$
Промежуток времени, $\tau = 30 \text{ мин} = 1800 \text{ с}$
Начальная температура алюминия, $t_0 = 20 \text{ °C}$
Изотоп углерода: $^{11}_6C$

Справочные данные:
Удельная теплоемкость алюминия, $c = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Температура плавления алюминия, $t_{пл} = 660 \text{ °C}$
Удельная теплота плавления алюминия, $\lambda_{Al} = 3,9 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$
Период полураспада $^{11}C$, $T_{1/2} = 20,4 \text{ мин} \approx 1224 \text{ с}$
Атомная масса $^{11}C$, $m_C = 11,011434 \text{ а.е.м.}$
Атомная масса продукта распада, бора $^{11}B$, $m_B = 11,009305 \text{ а.е.м.}$
Масса электрона (позитрона), $m_e = 0,000549 \text{ а.е.м.}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$
Молярная масса $^{11}C$, $M_r \approx 0,011 \frac{кг}{моль}$
Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Элементарный заряд, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
$1 \text{ МэВ} = 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:
Массу углерода $m$.

Решение:

1. Найдем общее количество теплоты $Q_{общ}$, необходимое для плавления алюминия. Эта энергия складывается из энергии для нагрева алюминия от начальной температуры $t_0$ до температуры плавления $t_{пл}$ и энергии, необходимой для самого процесса плавления.
Количество теплоты для нагрева: $Q_1 = c M (t_{пл} - t_0)$.
Количество теплоты для плавления: $Q_2 = \lambda_{Al} M$.
Общее количество теплоты: $Q_{общ} = Q_1 + Q_2 = M(c(t_{пл} - t_0) + \lambda_{Al})$.
Подставим числовые значения:
$Q_{общ} = 1,0 \cdot 10^5 \text{ кг} \cdot (920 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot (660 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) + 3,9 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}) = 1,0 \cdot 10^5 \cdot (920 \cdot 640 + 3,9 \cdot 10^5) \text{ Дж} = 1,0 \cdot 10^5 \cdot (5,888 \cdot 10^5 + 3,9 \cdot 10^5) \text{ Дж} = 9,788 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$.

2. Эта энергия выделяется в результате позитронного $\beta^+$-распада ядер углерода $^{11}C$. Запишем уравнение реакции:
$^{11}_6C \rightarrow ^{11}_5B + e^+ + \nu_e$
где $e^+$ — позитрон, а $\nu_e$ — электронное нейтрино. Энергия, выделяющаяся при одном акте распада ($E_1$), определяется дефектом масс. При расчете дефекта масс для $\beta^+$-распада с использованием атомных масс необходимо учесть массу двух электронов (один для испущенного позитрона и один из-за уменьшения заряда ядра на единицу при неизменном числе электронов в атомной оболочке):
$E_1 = (m_C - m_B - 2m_e)c^2$
$\Delta m = 11,011434 \text{ а.е.м.} - 11,009305 \text{ а.е.м.} - 2 \cdot 0,000549 \text{ а.е.м.} = 0,001032 \text{ а.е.м.}$
Энергия одного распада в МэВ:
$E_1 = 0,001032 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{МэВ}{\text{а.е.м.}} \approx 0,961 \text{ МэВ}$
Переведем эту энергию в джоули:
$E_1 = 0,961 \text{ МэВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \frac{Дж}{МэВ} \approx 1,538 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.
В условии задачи предполагается, что вся выделяемая энергия используется для плавления. Это означает, что мы пренебрегаем энергией, уносимой нейтрино, которое слабо взаимодействует с веществом.

3. Найдем число ядер $N_{расп}$, которые должны распасться за время $\tau$, чтобы выделилась энергия $Q_{общ}$:
$N_{расп} = \frac{Q_{общ}}{E_1} = \frac{9,788 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{1,538 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}} \approx 6,364 \cdot 10^{23}$ ядер.

4. Число распавшихся ядер связано с начальным числом ядер $N_0$ законом радиоактивного распада:
$N_{расп} = N_0(1 - e^{-\lambda \tau})$, где $\lambda$ — постоянная распада.
Постоянная распада связана с периодом полураспада $T_{1/2}$:
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{1224 \text{ с}} \approx 5,66 \cdot 10^{-4} \text{ с}^{-1}$.
Найдем начальное число ядер $N_0$, которое должно было быть в образце углерода:
$N_0 = \frac{N_{расп}}{1 - e^{-\lambda \tau}} = \frac{6,364 \cdot 10^{23}}{1 - e^{-5,66 \cdot 10^{-4} \cdot 1800}} = \frac{6,364 \cdot 10^{23}}{1 - e^{-1,0188}} = \frac{6,364 \cdot 10^{23}}{1 - 0,361} = \frac{6,364 \cdot 10^{23}}{0,639} \approx 9,96 \cdot 10^{23}$ ядер.

5. Наконец, найдем массу $m$ углерода, соответствующую начальному числу ядер $N_0$. Масса связана с количеством вещества $\nu$ через молярную массу $M_r$, а количество вещества — с числом частиц через число Авогадро $N_A$:
$m = \nu \cdot M_r = \frac{N_0}{N_A} \cdot M_r$
$m = \frac{9,96 \cdot 10^{23}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \cdot 0,011 \frac{кг}{моль} \approx 1,654 \text{ моль} \cdot 0,011 \frac{кг}{моль} \approx 0,0182 \text{ кг}$.

Масса необходимого углерода $^{11}C$ составляет примерно 18,2 г. Учитывая точность исходных данных (2 значащие цифры), округлим результат.
Ответ: $m \approx 18 \text{ г}$.