Номер 1696, страница 308 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Теплоемкость калориметра, $C = 100 \frac{Дж}{К}$

Масса изотопа кобальта $_{27}^{61}\text{Co}$, $m = 10,0 \text{ мг} = 10,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Энергия, выделяющаяся при распаде одного ядра, $\Delta E = 2,00 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$ (в условии задачи, вероятно, опечатка: $2,00 \cdot 10^{19} \text{ Дж}$ — это физически невозможное значение; для расчетов используется типичное для ядерного распада значение энергии)

Промежуток времени, $\tau = 50,0 \text{ мин} = 3000 \text{ с}$

Повышение температуры калориметра, $\Delta T = 60,0 \text{ мкК} = 60,0 \cdot 10^{-6} \text{ К}$

Молярная масса кобальта-61, $M \approx 61 \frac{г}{моль} = 0,061 \frac{кг}{моль}$

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

Период полураспада, $T$

Решение:

1. Найдем общее количество теплоты $Q$, выделившееся в калориметре за время $\tau$. Эта энергия пошла на его нагрев.

$Q = C \cdot \Delta T$

$Q = 100 \frac{Дж}{К} \cdot 60,0 \cdot 10^{-6} \text{ К} = 6,00 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

2. Эта теплота выделилась в результате распада $\Delta N$ ядер кобальта. Найдем число распавшихся ядер.

$\Delta N = \frac{Q}{\Delta E}$

$\Delta N = \frac{6,00 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{2,00 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}} = 3,00 \cdot 10^{10}$

3. Вычислим начальное число ядер кобальта $N_0$ в образце массой $m$.

$N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A$

$N_0 = \frac{10,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{0,061 \frac{кг}{моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 9,87 \cdot 10^{19}$

4. Число распавшихся ядер $\Delta N$ за малый промежуток времени $\tau$ (предполагая, что $\tau \ll T$) можно найти через активность образца, которая в этом случае почти постоянна:

$\Delta N \approx A \cdot \tau = (\lambda N_0) \cdot \tau$

где $\lambda$ — постоянная распада, связанная с периодом полураспада $T$ соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$

Подставим выражение для $\lambda$ в формулу для $\Delta N$:

$\Delta N \approx \frac{\ln 2}{T} N_0 \tau$

5. Выразим из этого уравнения искомый период полураспада $T$:

$T \approx \frac{N_0 \tau \ln 2}{\Delta N}$

Подставим вычисленные значения:

$T \approx \frac{9,87 \cdot 10^{19} \cdot 3000 \text{ с} \cdot 0,693}{3,00 \cdot 10^{10}} \approx 6,84 \cdot 10^{12} \text{ с}$

Полученное значение очень велико, что подтверждает наше предположение $\tau \ll T$ ($3000 \text{ с} \ll 6,84 \cdot 10^{12} \text{ с}$).

Для удобства можно перевести результат в годы (1 год $\approx 3,156 \cdot 10^7$ с):

$T \approx \frac{6,84 \cdot 10^{12} \text{ с}}{3,156 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 2,17 \cdot 10^5$ лет.

Ответ: $T \approx 6,84 \cdot 10^{12} \text{ с}$ (что составляет примерно $2,17 \cdot 10^5$ лет).