Номер 1697, страница 308 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса полония-210, $m = 1,0 \text{ мг}$
Теплоемкость калориметра, $C = 8,0 \text{ Дж/К}$
Промежуток времени, $\tau = 1,0 \text{ ч}$
Масса атома полония $^{210}_{84}\text{Po}$, $m_1 = 209,98287 \text{ а. е. м.}$
Масса атома свинца $^{206}_{82}\text{Pb}$, $m_2 = 205,97447 \text{ а. е. м.}$
Период полураспада полония, $T = 138 \text{ сут}$
Масса атома гелия $^{4}_{2}\text{He}$ ($\alpha$-частицы), $m_{\alpha} = 4,00260 \text{ а. е. м.}$
Энергетический эквивалент атомной единицы массы, $1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$
Заряд электрона, $e = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ ($1 \text{ эВ} = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$)
Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$m = 1,0 \text{ мг} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
$\tau = 1,0 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$
$T = 138 \text{ сут} = 138 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 11923200 \text{ с} \approx 1,19 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

$\Delta t$

Решение:

При α-распаде полония-210 выделяется энергия, которая поглощается калориметром и приводит к его нагреванию. Изменение температуры калориметра $\Delta t$ можно найти из уравнения теплового баланса $Q = C \Delta t$, где $Q$ - количество теплоты, выделившееся при распаде.

1. Запишем уравнение реакции α-распада полония-210:

$_{84}^{210}\text{Po} \rightarrow _{82}^{206}\text{Pb} + _{2}^{4}\text{He}$

2. Найдем энергию $Q_1$, выделяющуюся при распаде одного ядра полония. Эта энергия обусловлена дефектом масс $\Delta m$. Поскольку в задаче даны массы нейтральных атомов, мы можем использовать их для расчета, так как число электронов в левой и правой частях реакции сохраняется ($84 = 82 + 2$).

Дефект масс $\Delta m$ равен:

$\Delta m = m_1 - (m_2 + m_{\alpha}) = 209,98287 \text{ а. е. м.} - (205,97447 \text{ а. е. м.} + 4,00260 \text{ а. е. м.}) = 0,0058 \text{ а. е. м.}$

Энергия, выделяемая при одном акте распада:

$Q_1 = \Delta m \cdot c^2 = 0,0058 \text{ а. е. м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}} \approx 5,40 \text{ МэВ}$

Переведем эту энергию в джоули:

$Q_1 = 5,40 \text{ МэВ} = 5,40 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 5,40 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 8,65 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

3. Найдем начальное число $N_0$ ядер полония в образце. Молярная масса полония-210 $M \approx 210 \text{ г/моль}$.

$N_0 = \frac{m}{M} N_A = \frac{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,87 \cdot 10^{18}$

4. Найдем число распавшихся ядер $\Delta N$ за время $\tau$. Число нераспавшихся ядер описывается законом радиоактивного распада $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ - постоянная распада.

Число распавшихся ядер: $\Delta N = N_0 - N(\tau) = N_0(1 - e^{-\lambda \tau})$.

Так как время наблюдения $\tau = 1,0 \text{ ч}$ много меньше периода полураспада $T = 138 \text{ сут}$, то показатель степени $\lambda \tau = \frac{\ln 2}{T}\tau$ мал. Для малых $x$ справедливо приближение $e^{-x} \approx 1-x$.

Тогда $\Delta N \approx N_0(1 - (1 - \lambda \tau)) = N_0 \lambda \tau = N_0 \frac{\ln 2}{T} \tau$.

Подставим числовые значения:

$\Delta N = (2,87 \cdot 10^{18}) \cdot \frac{0,693}{1,19 \cdot 10^7 \text{ с}} \cdot 3600 \text{ с} \approx 6,01 \cdot 10^{14}$

5. Полная энергия $Q$, выделившаяся в калориметре, равна произведению числа распавшихся ядер на энергию одного распада:

$Q = \Delta N \cdot Q_1 = (6,01 \cdot 10^{14}) \cdot (8,65 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}) \approx 519,9 \text{ Дж}$

6. Эта энергия полностью поглощается калориметром, вызывая его нагревание. Количество теплоты, полученное калориметром, связано с изменением температуры:

$Q = C \cdot \Delta t$

Отсюда находим искомое изменение температуры $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{Q}{C} = \frac{519,9 \text{ Дж}}{8,0 \text{ Дж/К}} \approx 65 \text{ К}$

Ответ:

Изменение температуры в калориметре за 1 час составит $\Delta t = 65 \text{ К}$.