Номер 1693, страница 308 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$p_0 = 1,05 \cdot 10^5$ Па

$T_0 = 273$ К

$t = 414$ сут

$m = 1,00$ г

$T = 138$ сут

Изотоп: $_{84}^{210}\text{Po}$

$R = 8,31$ Дж/(моль·К)

$M_{Po} = 210$ г/моль

Перевод в систему СИ:

$m = 1,00 \cdot 10^{-3}$ кг

$M_{Po} = 0,210$ кг/моль

Найти:

$V$

Решение:

При альфа-распаде изотопа полония $_{84}^{210}\text{Po}$ образуется изотоп свинца $_{82}^{206}\text{Pb}$ и альфа-частица, которая является ядром атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$. Уравнение реакции радиоактивного распада выглядит следующим образом:

$_{84}^{210}\text{Po} \rightarrow _{82}^{206}\text{Pb} + _{2}^{4}\text{He}$

Из этого уравнения следует, что при распаде одного атома полония образуется один атом гелия. Следовательно, количество вещества образовавшегося гелия $\nu_{He}$ равно количеству вещества распавшегося полония $\Delta\nu_{Po}$.

Начальное количество вещества полония $\nu_0$ определяется по формуле:

$\nu_0 = \frac{m}{M_{Po}}$

Согласно закону радиоактивного распада, количество вещества полония, оставшегося через время $t$, равно:

$\nu(t) = \nu_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

где $T$ — период полураспада.

Количество вещества распавшегося полония $\Delta\nu_{Po}$ можно найти как разность между начальным количеством и оставшимся:

$\Delta\nu_{Po} = \nu_0 - \nu(t) = \nu_0 - \nu_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} = \nu_0(1 - 2^{-\frac{t}{T}})$

Так как $\nu_{He} = \Delta\nu_{Po}$, то количество вещества образовавшегося гелия равно:

$\nu_{He} = \frac{m}{M_{Po}}(1 - 2^{-\frac{t}{T}})$

Подставим данные из условия задачи для нахождения количества вещества гелия:

$\nu_{He} = \frac{1,00 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{0,210 \text{ кг/моль}}(1 - 2^{-\frac{414}{138}}) = \frac{1}{210}(1 - 2^{-3}) = \frac{1}{210}(1 - \frac{1}{8}) = \frac{1}{210} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1}{240} \text{ моль}$

Объем, который займет гелий при нормальных условиях, можно определить с помощью уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$p_0 V = \nu_{He} R T_0$

Отсюда выражаем искомый объем $V$:

$V = \frac{\nu_{He} R T_0}{p_0}$

Произведем вычисления:

$V = \frac{\frac{1}{240} \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 273 \text{ К}}{1,05 \cdot 10^5 \text{ Па}} \approx 9,01 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Для наглядности можно перевести объем в кубические сантиметры ($1 \text{ м}^3 = 10^6 \text{ см}^3$):

$V \approx 9,01 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \text{ см}^3 = 90,1 \text{ см}^3$

Ответ: $V \approx 9,01 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$ (или $90,1 \text{ см}^3$).