Номер 1688, страница 307 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Изотоп полония: $_{84}^{210}\text{Po}$
Изотоп свинца: $_{82}^{207}\text{Pb}$
Начальная масса полония: $m_{\text{Po}} = 1.0 \text{ мг}$
Промежуток времени: $t = 70 \text{ сут}$
Период полураспада полония-210 (справочное значение): $T_{1/2} = 138 \text{ сут}$
Молярная масса полония-210: $M_{\text{Po}} \approx 210 \text{ г/моль}$
Молярная масса свинца-207: $M_{\text{Pb}} \approx 207 \text{ г/моль}$

Перевод в систему СИ:
$m_{\text{Po}} = 1.0 \times 10^{-6} \text{ кг}$
$t = 70 \text{ сут} = 70 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 6.048 \times 10^6 \text{ с}$
$T_{1/2} = 138 \text{ сут} = 138 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 1.19 \times 10^7 \text{ с}$

Найти:

Массу свинца $m_{\text{Pb}}$.

Решение

Закон радиоактивного распада для массы вещества можно записать в виде:

$m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $m_0$ — начальная масса радиоактивного вещества, $m(t)$ — масса вещества, оставшаяся через время $t$, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Масса полония, которая распалась за время $t$, равна разности начальной массы и массы, оставшейся к моменту времени $t$:

$\Delta m_{\text{Po}} = m_{\text{Po}} - m(t) = m_{\text{Po}} \cdot (1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

Из условия задачи, при распаде одного ядра полония $_{84}^{210}\text{Po}$ образуется одно ядро свинца $_{82}^{207}\text{Pb}$. Это означает, что количество распавшихся ядер полония равно количеству образовавшихся ядер свинца:

$\Delta N_{\text{Po}} = N_{\text{Pb}}$

Количество вещества (число молей) связано с количеством частиц $N$ и массой $m$ через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$ как $\nu = N/N_A = m/M$.

Так как число ядер одинаково, то и количество вещества (в молях) будет одинаковым:

$\nu_{\text{Pb}} = \Delta \nu_{\text{Po}}$

Отсюда следует соотношение для масс:

$\frac{m_{\text{Pb}}}{M_{\text{Pb}}} = \frac{\Delta m_{\text{Po}}}{M_{\text{Po}}}$

Выразим массу образовавшегося свинца:

$m_{\text{Pb}} = \Delta m_{\text{Po}} \cdot \frac{M_{\text{Pb}}}{M_{\text{Po}}} = m_{\text{Po}} \cdot (1 - 2^{-t/T_{1/2}}) \cdot \frac{M_{\text{Pb}}}{M_{\text{Po}}}$

Будем использовать молярные массы, приблизительно равные массовым числам изотопов: $M_{\text{Po}} \approx 210 \text{ г/моль}$ и $M_{\text{Pb}} \approx 207 \text{ г/моль}$. Период полураспада полония-210 является справочной величиной и равен $T_{1/2} \approx 138 \text{ сут}$.

Подставим числовые значения в формулу. Для удобства вычислений оставим время в сутках, а массу в миллиграммах.

$m_{\text{Pb}} = 1.0 \text{ мг} \cdot (1 - 2^{-70/138}) \cdot \frac{207}{210}$

$m_{\text{Pb}} \approx 1.0 \cdot (1 - 2^{-0.5072}) \cdot 0.9857$

$m_{\text{Pb}} \approx 1.0 \cdot (1 - 0.7035) \cdot 0.9857$

$m_{\text{Pb}} \approx 1.0 \cdot 0.2965 \cdot 0.9857$

$m_{\text{Pb}} \approx 0.2923 \text{ мг}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с данными задачи ($m_{\text{Po}} = 1.0 \text{ мг}$, $t = 70 \text{ сут}$), получаем:

$m_{\text{Pb}} \approx 0.29 \text{ мг}$

Ответ:

$m_{\text{Pb}} \approx 0.29 \text{ мг}$.