Номер 1683, страница 306 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t = 1,0$ сут
$m = 1,0$ г
Изотоп: $_{88}^{226}\text{Ra}$
$T = 1,6 \cdot 10^3$ лет
Молярная масса радия-226, $M \approx 226$ г/моль
Число Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Перевод в систему СИ:

$t = 1 \text{ сут} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$
$m = 1,0 \text{ г} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$T = 1,6 \cdot 10^3 \text{ лет} = 1,6 \cdot 10^3 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 5,046 \cdot 10^{10} \text{ с}$
$M = 226 \text{ г/моль} = 0,226 \text{ кг/моль}$

Найти:

$\Delta N$

Решение:

1. Найдем начальное число ядер $N_0$ в куске радия массой $m$. Число ядер связано с массой вещества, его молярной массой $M$ и числом Авогадро $N_A$ соотношением:

$N_0 = \frac{m}{M} N_A$

$N_0 = \frac{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{0,226 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,665 \cdot 10^{21}$ ядер.

2. Определим постоянную распада $\lambda$ через период полураспада $T$:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$

$\lambda = \frac{0,693}{5,046 \cdot 10^{10} \text{ с}} \approx 1,373 \cdot 10^{-11} \text{ с}^{-1}$.

3. Число распавшихся ядер $\Delta N$ за время $t$ определяется разностью между начальным числом ядер $N_0$ и числом нераспавшихся ядер $N(t)$ к моменту времени $t$:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 e^{-\lambda t} = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.

Поскольку промежуток времени $t = 1$ сутки много меньше периода полураспада $T = 1600$ лет, то показатель степени $\lambda t$ будет очень мал по сравнению с единицей:

$\lambda t = 1,373 \cdot 10^{-11} \text{ с}^{-1} \cdot 86400 \text{ с} \approx 1,186 \cdot 10^{-6} \ll 1$.

В этом случае можно использовать приближенную формулу, разложив экспоненту в ряд Тейлора и ограничившись первыми двумя членами: $e^{-x} \approx 1 - x$ при $x \ll 1$.

Тогда формула для числа распавшихся ядер упрощается:

$\Delta N \approx N_0(1 - (1 - \lambda t)) = N_0 \lambda t$.

4. Подставим числовые значения и вычислим $\Delta N$:

$\Delta N \approx (2,665 \cdot 10^{21}) \cdot (1,373 \cdot 10^{-11} \text{ с}^{-1}) \cdot (86400 \text{ с}) \approx 3,158 \cdot 10^{15}$ ядер.

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с данными в условии задачи ($m=1,0$ г, $t=1,0$ сут, $T=1,6 \cdot 10^3$ лет), получаем:

$\Delta N \approx 3,2 \cdot 10^{15}$ ядер.

Ответ: За 1,0 сутки распадется примерно $3,2 \cdot 10^{15}$ ядер радия.