Номер 1689, страница 307 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Изотоп радона: $_{86}^{222}\text{Rn}$

Тип распада: $\alpha$-распад

Массовое число $\alpha$-частицы: $A_{\alpha} = 4$

Массовое число ядра радона: $A_{Rn} = 222$

Найти:

$\frac{E_{\alpha}}{\Delta E}$

Решение:

При $\alpha$-распаде ядро изотопа радона $_{86}^{222}\text{Rn}$ превращается в ядро полония $_{84}^{218}\text{Po}$ и испускает $\alpha$-частицу (ядро гелия $_{2}^{4}\text{He}$). Уравнение реакции имеет вид:

$_{86}^{222}\text{Rn} \rightarrow _{84}^{218}\text{Po} + _{2}^{4}\text{He}$

Будем считать, что начальное ядро радона покоилось. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс продуктов распада равен нулю:

$\vec{p}_{\alpha} + \vec{p}_{Po} = 0$

где $\vec{p}_{\alpha}$ - импульс $\alpha$-частицы, а $\vec{p}_{Po}$ - импульс ядра полония. Отсюда следует, что модули импульсов продуктов распада равны:

$p_{\alpha} = p_{Po} = p$

Энергия $\Delta E$, освобожденная при распаде, переходит в кинетическую энергию продуктов реакции:

$\Delta E = E_{\alpha} + E_{Po}$

где $E_{\alpha}$ и $E_{Po}$ - кинетические энергии $\alpha$-частицы и ядра полония соответственно. Кинетическую энергию можно выразить через импульс $p$ и массу $m$ как $E = \frac{p^2}{2m}$. Тогда:

$E_{\alpha} = \frac{p^2}{2m_{\alpha}}$

$E_{Po} = \frac{p^2}{2m_{Po}}$

Из соотношений для энергий видно, что отношение кинетических энергий обратно пропорционально отношению масс:

$\frac{E_{\alpha}}{E_{Po}} = \frac{p^2/2m_{\alpha}}{p^2/2m_{Po}} = \frac{m_{Po}}{m_{\alpha}}$

Отсюда выразим энергию ядра полония через энергию альфа-частицы:

$E_{Po} = E_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{m_{Po}}$

Подставим это выражение в формулу для полной освобожденной энергии:

$\Delta E = E_{\alpha} + E_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{m_{Po}} = E_{\alpha} \left(1 + \frac{m_{\alpha}}{m_{Po}}\right) = E_{\alpha} \frac{m_{Po} + m_{\alpha}}{m_{Po}}$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{E_{\alpha}}{\Delta E}$:

$\frac{E_{\alpha}}{\Delta E} = \frac{E_{\alpha}}{E_{\alpha} \frac{m_{Po} + m_{\alpha}}{m_{Po}}} = \frac{m_{Po}}{m_{Po} + m_{\alpha}}$

Массы ядер можно считать приблизительно равными их массовым числам (в атомных единицах массы), так как дефект масс составляет незначительную часть. Массовое число дочернего ядра полония $A_{Po} = 222 - 4 = 218$.

$m_{\alpha} \approx A_{\alpha} = 4$

$m_{Po} \approx A_{Po} = 218$

Подставим числовые значения:

$\frac{E_{\alpha}}{\Delta E} \approx \frac{A_{Po}}{A_{Po} + A_{\alpha}} = \frac{218}{218 + 4} = \frac{218}{222} = \frac{109}{111}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{109}{111} \approx 0.982$

Это означает, что $\alpha$-частица уносит примерно 98,2% всей освобожденной энергии.

Ответ: $\alpha$-частица уносит часть энергии, равную $\frac{m_{Po}}{m_{Po} + m_{\alpha}} \approx \frac{218}{222} \approx 0.982$.