Номер 1690, страница 307 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Изотоп радия: $_{88}^{226}\text{Ra}$

Начальная скорость ядра радия: $v_{Ra} = 0$ (ядро покоится)

Тип распада: $\alpha$-распад

Найти:

1. Уравнение реакции $\alpha$-распада.

2. Сравнить импульсы образовавшихся ядер.

3. Сравнить кинетические энергии образовавшихся ядер.

Решение:

Запишите реакцию α-распада ядра изотопа радия $_{88}^{226}\text{Ra}$.

Альфа-распад — это вид радиоактивного распада, при котором ядро испускает альфа-частицу, являющуюся ядром атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$. При этом массовое число исходного ядра уменьшается на 4, а зарядовое число (порядковый номер) — на 2.

Запишем схему реакции:

$_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{Z}^{A}\text{X} + _{2}^{4}\text{He}$

Согласно законам сохранения массового и зарядового чисел:

Массовое число нового ядра: $A = 226 - 4 = 222$.

Зарядовое число нового ядра: $Z = 88 - 2 = 86$.

Элемент с порядковым номером 86 в таблице Менделеева — это радон (Rn). Таким образом, в результате распада радия-226 образуется радон-222.

Ответ: Уравнение реакции α-распада: $_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{86}^{222}\text{Rn} + _{2}^{4}\text{He}$.

Сравните импульсы ... образовавшихся ядер...

Рассмотрим систему, состоящую из ядра радия, как замкнутую. По условию, до распада ядро радия покоилось, следовательно, его импульс (и импульс всей системы) был равен нулю: $\vec{p}_{Ra} = 0$.

После распада образовались два новых ядра: ядро радона ($_{86}^{222}\text{Rn}$) и альфа-частица ($_{2}^{4}\text{He}$). Обозначим их импульсы как $\vec{p}_{Rn}$ и $\vec{p}_{\alpha}$ соответственно.

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после распада должен быть равен суммарному импульсу до распада:

$\vec{p}_{Rn} + \vec{p}_{\alpha} = \vec{p}_{Ra} = 0$

Из этого равенства следует, что:

$\vec{p}_{Rn} = -\vec{p}_{\alpha}$

Это векторное равенство означает, что импульсы образовавшихся ядер равны по модулю ($|\vec{p}_{Rn}| = |\vec{p}_{\alpha}|$) и направлены в противоположные стороны.

Ответ: Импульсы образовавшихся ядер (радона и альфа-частицы) равны по модулю и противоположны по направлению.

Сравните ... кинетические энергии образовавшихся ядер...

Кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом $p$ и массой $m$ формулой $E_k = \frac{p^2}{2m}$.

Запишем выражения для кинетических энергий ядра радона и альфа-частицы:

$E_{k, Rn} = \frac{p_{Rn}^2}{2m_{Rn}}$

$E_{k, \alpha} = \frac{p_{\alpha}^2}{2m_{\alpha}}$

Как мы установили в предыдущем пункте, модули импульсов этих частиц равны: $p_{Rn} = p_{\alpha} = p$. Тогда:

$E_{k, Rn} = \frac{p^2}{2m_{Rn}}$

$E_{k, \alpha} = \frac{p^2}{2m_{\alpha}}$

Чтобы сравнить энергии, найдем их отношение:

$\frac{E_{k, \alpha}}{E_{k, Rn}} = \frac{p^2 / (2m_{\alpha})}{p^2 / (2m_{Rn})} = \frac{m_{Rn}}{m_{\alpha}}$

Массы ядер приблизительно пропорциональны их массовым числам. Масса ядра радона-222 ($m_{Rn} \approx 222 \text{ а.е.м.}$) значительно больше массы альфа-частицы ($m_{\alpha} \approx 4 \text{ а.е.м.}$):

$m_{Rn} > m_{\alpha}$

Так как кинетическая энергия при одинаковом импульсе обратно пропорциональна массе, то более легкая частица (альфа-частица) будет обладать большей кинетической энергией.

$E_{k, \alpha} > E_{k, Rn}$

Ответ: Кинетическая энергия альфа-частицы значительно больше кинетической энергии образовавшегося ядра радона.