Номер 1684, страница 306 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t = 1,0 \text{ года}$

$T = 7,0 \cdot 10^3 \text{ лет}$

В данной задаче единицы времени для $t$ и $T$ совпадают (годы), поэтому переводить их в систему СИ (секунды) не требуется, так как в расчетных формулах используется их отношение.

Найти:

$\frac{\Delta N}{N_0} - ?$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение числа нераспавшихся ядер $N$ со временем $t$:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $\lambda$ — постоянная распада.

Постоянная распада связана с периодом полураспада $T$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$

Подставив это выражение в закон распада, получим:

$N(t) = N_0 e^{-\frac{\ln 2}{T} t}$

Число распавшихся ядер $\Delta N$ за время $t$ равно разности между начальным числом ядер и числом нераспавшихся к моменту времени $t$:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 e^{-\frac{\ln 2}{T} t} = N_0 \left(1 - e^{-\frac{\ln 2}{T} t}\right)$

Чтобы найти, какая часть от общего числа ядер распадется, разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - e^{-\frac{\ln 2}{T} t}$

Поскольку в условии задачи промежуток времени $t = 1,0$ года значительно меньше периода полураспада $T = 7,0 \cdot 10^3$ лет ($t \ll T$), то показатель степени в экспоненте очень мал: $\frac{\ln 2}{T} t \ll 1$. Для малых значений $x$ справедливо приближение $e^{-x} \approx 1 - x$.

Используя это приближение, получаем:

$\frac{\Delta N}{N_0} \approx 1 - \left(1 - \frac{\ln 2}{T} t\right) = \frac{\ln 2}{T} t$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{\Delta N}{N_0} \approx \frac{\ln 2}{7,0 \cdot 10^3 \text{ лет}} \cdot 1,0 \text{ года} \approx \frac{0,693}{7000} \approx 0,000099 \approx 9,9 \cdot 10^{-5}$

Ответ: $\frac{\Delta N}{N_0} \approx 9,9 \cdot 10^{-5}$.