Номер 1686, страница 306 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

k = 25,0 % = 0,250

T = 25,0 ч

Найти:

t - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с первоначальным числом ядер $N_0$ и периодом полураспада $T$. Формула имеет вид:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

По условию задачи, за время $t$ распадается $k = 25,0\%$ первоначального числа ядер. Это означает, что доля распавшихся ядер составляет 0,250 от $N_0$.

Число распавшихся ядер $\Delta N$ можно выразить как:

$\Delta N = k \cdot N_0$

Следовательно, число оставшихся (нераспавшихся) ядер $N(t)$ в момент времени $t$ равно:

$N(t) = N_0 - \Delta N = N_0 - k \cdot N_0 = N_0(1-k)$

Теперь приравняем два полученных выражения для $N(t)$:

$N_0(1-k) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Сократим обе части уравнения на $N_0$ (так как $N_0 \neq 0$):

$1-k = 2^{-\frac{t}{T}}$

Чтобы найти время $t$, прологарифмируем это уравнение. Удобно использовать логарифм по основанию 2:

$\log_2(1-k) = \log_2(2^{-\frac{t}{T}})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:

$\log_2(1-k) = -\frac{t}{T}$

Выразим отсюда время $t$:

$t = -T \cdot \log_2(1-k)$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$1-k = 1 - 0,250 = 0,750$

$t = -25,0 \text{ ч} \cdot \log_2(0,750)$

Для вычисления логарифма по основанию 2 можно воспользоваться формулой перехода к другому основанию, например, к натуральному логарифму ($\ln$): $\log_2(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)}$.

$t = -25,0 \text{ ч} \cdot \frac{\ln(0,750)}{\ln(2)}$

Используя значения логарифмов $\ln(0,750) \approx -0,2877$ и $\ln(2) \approx 0,6931$, получим:

$t \approx -25,0 \text{ ч} \cdot \frac{-0,2877}{0,6931} \approx -25,0 \text{ ч} \cdot (-0,4150) \approx 10,375 \text{ ч}$

Округлим результат до трех значащих цифр, поскольку исходные данные приведены с такой же точностью:

$t \approx 10,4 \text{ ч}$

Ответ: промежуток времени, за который распадется 25,0% первоначального числа ядер, составляет приблизительно $10,4$ ч.