Номер 1682, страница 306 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Период полураспада ядер изотопа полония $^{210}_{84}$Po: $T = 138$ сут.

Промежуток времени: $t = 1,00$ сут.

Начальное число ядер: $N_0 = 1,00 \cdot 10^6$.

$T = 138 \text{ сут} = 138 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 11923200 \text{ с} \approx 1,19 \cdot 10^7 \text{ с}$
$t = 1,00 \text{ сут} = 1 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Число распавшихся ядер $\Delta N$.

Решение:

Закон радиоактивного распада определяет число $N$ нераспавшихся ядер в момент времени $t$ через начальное число ядер $N_0$ и период полураспада $T$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Число распавшихся ядер $\Delta N$ за время $t$ равно разности между начальным числом ядер $N_0$ и числом нераспавшихся ядер $N(t)$:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T} = N_0 \left(1 - 2^{-t/T}\right)$

Подставим в формулу известные значения. Поскольку время $t$ и период полураспада $T$ даны в одинаковых единицах (сутках), их отношение $t/T$ является безразмерной величиной, и для данного расчета перевод в систему СИ не требуется.

$\Delta N = 1,00 \cdot 10^6 \left(1 - 2^{-1,00/138}\right)$

Сначала вычислим показатель степени:

$-\frac{1,00}{138} \approx -0,007246$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$1 - 2^{-1,00/138} \approx 1 - 0,99499 = 0,00501$

Найдем число распавшихся ядер:

$\Delta N \approx 1,00 \cdot 10^6 \cdot 0,00501 = 5010$

Округлим результат до трех значащих цифр в соответствии с точностью исходных данных.

$\Delta N \approx 5,01 \cdot 10^3$

Ответ: число распавшихся ядер полония за 1,00 сутки составляет примерно $5,01 \cdot 10^3$.