Номер 419, страница 81 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Закон изменения координаты тела: $x(t) = A + Bt + Ct^2$

Коэффициенты: $A = -6.0$ м, $B = 3.0$ м/с, $C = -0.25$ м/с².

Закон изменения проекции импульса: $p_x(t) = A_1 + B_1t$

Коэффициенты: $A_1 = 12$ кг·м/с, $B_1 = -2.0$ кг·м/с².

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Массу тела $m$, проекцию силы $F_x$.

Решение:

Сначала найдем массу тела $m$.

Проекция скорости тела на ось $Ox$ является первой производной от координаты по времени:

$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A + Bt + Ct^2) = B + 2Ct$

Проекция импульса тела по определению равна $p_x = m v_x$. Подставим в эту формулу найденное выражение для проекции скорости:

$p_x(t) = m(B + 2Ct) = mB + 2mCt$

По условию задачи, закон изменения проекции импульса также описывается формулой $p_x(t) = A_1 + B_1t$. Приравняем два полученных выражения для проекции импульса:

$mB + 2mCt = A_1 + B_1t$

Это равенство является тождеством, то есть оно должно выполняться для любого момента времени $t$. Это возможно только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях $t$ в левой и правой частях уравнения равны.

Приравнивая свободные члены (коэффициенты при $t^0$), получаем:

$mB = A_1$

Отсюда можно выразить массу $m$ и рассчитать ее значение:

$m = \frac{A_1}{B} = \frac{12 \text{ кг·м/с}}{3.0 \text{ м/с}} = 4.0 \text{ кг}$

Для проверки можно приравнять коэффициенты при $t^1$:

$2mC = B_1 \implies m = \frac{B_1}{2C} = \frac{-2.0 \text{ кг·м/с²}}{2 \cdot (-0.25 \text{ м/с²})} = \frac{-2.0}{-0.50} \text{ кг} = 4.0 \text{ кг}$

Результаты совпадают, следовательно, масса тела $m = 4.0$ кг.

Теперь найдем проекцию силы $F_x$, действующей на тело.

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, проекция силы равна производной проекции импульса по времени:

$F_x = \frac{dp_x}{dt}$

Используя заданное уравнение для импульса $p_x(t) = A_1 + B_1t$, находим производную:

$F_x = \frac{d}{dt}(A_1 + B_1t) = B_1$

Подставляем известное значение коэффициента $B_1$:

$F_x = -2.0 \text{ Н}$

Таким образом, на тело действует постоянная сила, проекция которой на ось $Ox$ равна -2.0 Н.

Ответ: масса тела $m = 4.0$ кг; проекция силы $F_x = -2.0$ Н.