Номер 423, страница 82 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m$ — масса материальной точки
$v$ — модуль скорости точки ($v = const$)
$\alpha_1 = 60^\circ$
$\alpha_2 = 90^\circ$
$\alpha_3 = 180^\circ$
$\alpha_4 = 360^\circ$

Найти:

$\Delta p_1, \Delta p_2, \Delta p_3, \Delta p_4$

Решение:

Импульс материальной точки — это векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ за некоторый промежуток времени равно векторной разности конечного $\vec{p_2}$ и начального $\vec{p_1}$ импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Поскольку точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$, модуль её импульса также постоянен: $|\vec{p_1}| = |\vec{p_2}| = mv$.

Модуль изменения импульса $|\Delta\vec{p}|$ можно найти, используя правило вычитания векторов. Для этого можно построить треугольник из векторов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$, отложенных из одной точки. Вектор $\Delta\vec{p}$ будет замыкать этот треугольник. Угол между векторами $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ равен углу поворота радиус-вектора $\alpha$.

По теореме косинусов для этого треугольника:

$|\Delta\vec{p}|^2 = |\vec{p_1}|^2 + |\vec{p_2}|^2 - 2|\vec{p_1}||\vec{p_2}|\cos\alpha$

Подставим значения модулей импульсов:

$|\Delta\vec{p}|^2 = (mv)^2 + (mv)^2 - 2(mv)(mv)\cos\alpha = 2m^2v^2(1 - \cos\alpha)$

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$|\Delta\vec{p}|^2 = 2m^2v^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4m^2v^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда, модуль изменения импульса, который в задаче обозначен как $\Delta p$, равен:

$\Delta p = \sqrt{4m^2v^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2mv\left|\sin(\frac{\alpha}{2})\right|$

Поскольку для всех заданных углов $\alpha$ значение $\frac{\alpha}{2}$ находится в диапазоне от $0$ до $180^\circ$, синус будет неотрицательным, и знак модуля можно опустить.

$\Delta p = 2mv\sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь вычислим значения для каждого заданного угла.

$\Delta p_1$

При повороте на угол $\alpha_1 = 60^\circ$ модуль изменения импульса равен:

$\Delta p_1 = 2mv\sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2mv\sin(30^\circ) = 2mv \cdot \frac{1}{2} = mv$.

Ответ: $mv$.

$\Delta p_2$

При повороте на угол $\alpha_2 = 90^\circ$ модуль изменения импульса равен:

$\Delta p_2 = 2mv\sin(\frac{90^\circ}{2}) = 2mv\sin(45^\circ) = 2mv \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = mv\sqrt{2}$.

Ответ: $mv\sqrt{2}$.

$\Delta p_3$

При повороте на угол $\alpha_3 = 180^\circ$ модуль изменения импульса равен:

$\Delta p_3 = 2mv\sin(\frac{180^\circ}{2}) = 2mv\sin(90^\circ) = 2mv \cdot 1 = 2mv$.

Ответ: $2mv$.

$\Delta p_4$

При повороте на угол $\alpha_4 = 360^\circ$ модуль изменения импульса равен:

$\Delta p_4 = 2mv\sin(\frac{360^\circ}{2}) = 2mv\sin(180^\circ) = 2mv \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.