Номер 426, страница 82 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса тела, $m = 2,0$ кг

Максимальная высота подъема, $h = 3,2$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

1. Модуль изменения импульса за время подъема, $\Delta p_1$ - ?

2. Модуль изменения импульса за все время движения, $\Delta p_2$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное по вертикали (ось Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Начальная скорость тела $\vec{v_0}$ имеет две составляющие: горизонтальную $v_{0x}$ и вертикальную $v_{0y}$.

за промежуток времени, в течение которого он поднимается на эту высоту

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$. Изменение импульса $\Delta \vec{p} = \vec{p_f} - \vec{p_i}$, где $\vec{p_i}$ — начальный импульс, а $\vec{p_f}$ — конечный импульс.

В начальный момент времени (при $t=0$) импульс тела $\vec{p_i} = m\vec{v_0}$. Его проекции на оси: $p_{ix} = mv_{0x}$, $p_{iy} = mv_{0y}$.

В точке максимального подъема $h$ вертикальная составляющая скорости тела становится равной нулю ($v_{fy} = 0$), а горизонтальная остается неизменной ($v_{fx} = v_{0x}$), так как по горизонтали на тело не действуют силы. Импульс тела в этот момент равен $\vec{p_f}$. Его проекции: $p_{fx} = mv_{0x}$, $p_{fy} = 0$.

Изменение импульса за время подъема $\Delta \vec{p_1} = \vec{p_f} - \vec{p_i}$.

В проекциях на оси:

$\Delta p_{1x} = p_{fx} - p_{ix} = mv_{0x} - mv_{0x} = 0$

$\Delta p_{1y} = p_{fy} - p_{iy} = 0 - mv_{0y} = -mv_{0y}$

Модуль вектора изменения импульса равен $|\Delta \vec{p_1}| = \sqrt{(\Delta p_{1x})^2 + (\Delta p_{1y})^2} = \sqrt{0^2 + (-mv_{0y})^2} = mv_{0y}$.

Вертикальную составляющую начальной скорости $v_{0y}$ можно найти из формулы для максимальной высоты подъема при равноускоренном движении: $h = \frac{v_{0y}^2}{2g}$.

Отсюда $v_{0y} = \sqrt{2gh}$.

Подставим это выражение в формулу для модуля изменения импульса:

$\Delta p_1 = m \sqrt{2gh}$.

Произведем вычисления:

$\Delta p_1 = 2,0 \text{ кг} \cdot \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3,2 \text{ м}} = 2,0 \cdot \sqrt{64} \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 2,0 \cdot 8 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: 16 кг·м/с.

за весь промежуток времени движения тела

Рассмотрим изменение импульса за все время полета. Начальный импульс $\vec{p_i}$ тот же. Конечный импульс $\vec{p_f}$ соответствует моменту падения тела на землю (на ту же высоту, с которой оно было брошено). По симметрии траектории, горизонтальная составляющая скорости остается прежней ($v_{fx} = v_{0x}$), а вертикальная составляющая скорости по модулю равна начальной, но направлена в противоположную сторону ($v_{fy} = -v_{0y}$).

Проекции конечного импульса: $p_{fx} = mv_{0x}$, $p_{fy} = -mv_{0y}$.

Изменение импульса за все время полета $\Delta \vec{p_2} = \vec{p_f} - \vec{p_i}$.

В проекциях на оси:

$\Delta p_{2x} = p_{fx} - p_{ix} = mv_{0x} - mv_{0x} = 0$

$\Delta p_{2y} = p_{fy} - p_{iy} = -mv_{0y} - mv_{0y} = -2mv_{0y}$

Модуль изменения импульса равен $|\Delta \vec{p_2}| = \sqrt{(\Delta p_{2x})^2 + (\Delta p_{2y})^2} = \sqrt{0^2 + (-2mv_{0y})^2} = 2mv_{0y}$.

Используя найденное ранее выражение для $v_{0y} = \sqrt{2gh}$, получаем:

$\Delta p_2 = 2m \sqrt{2gh} = 2 \cdot \Delta p_1$.

Произведем вычисления:

$\Delta p_2 = 2 \cdot 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 32 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Этот же результат можно получить, используя теорему об изменении импульса: $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$. Единственная сила, действующая на тело, — это сила тяжести $\vec{F} = m\vec{g}$. Полное время полета $\Delta t = 2 t_{подъема} = 2 \frac{v_{0y}}{g}$. Тогда модуль изменения импульса $|\Delta \vec{p_2}| = F \Delta t = mg \cdot (2 \frac{v_{0y}}{g}) = 2mv_{0y}$, что совпадает с предыдущим результатом.

Ответ: 32 кг·м/с.