Номер 432, страница 83 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость мальчика, $v_1 = 4.0 \frac{м}{с}$
Скорость тележки, $v_2 = 3.0 \frac{м}{с}$
Масса мальчика, $m_1 = 50$ кг
Масса тележки, $m_2 = 80$ кг

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$v_3$ - ?
$v_4$ - ?

Решение:

Взаимодействие мальчика и тележки можно рассматривать как неупругий удар в замкнутой системе. Внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции) скомпенсированы, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Следовательно, для системы "мальчик-тележка" выполняется закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:
$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = (m_1 + m_2) \vec{v}_{общ}$

Рассмотрим два случая.

Определите модуль скорости $v_3$ тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее.

В этом случае мальчик догоняет тележку, значит, их скорости направлены в одну сторону. Выберем ось ОХ, направленную по ходу движения. Тогда проекции скоростей на эту ось будут положительными.

Закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_3$

Выразим отсюда искомую скорость $v_3$:
$v_3 = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:
$v_3 = \frac{50 \text{ кг} \cdot 4.0 \frac{м}{с} + 80 \text{ кг} \cdot 3.0 \frac{м}{с}}{50 \text{ кг} + 80 \text{ кг}} = \frac{200 + 240}{130} \frac{м}{с} = \frac{440}{130} \frac{м}{с} \approx 3.4 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости тележки, когда мальчик догонял ее, равен $v_3 \approx 3.4 \frac{м}{с}$.

Найдите модуль скорости $v_4$ тележки, если первоначально она двигалась навстречу мальчику.

В этом случае мальчик и тележка движутся навстречу друг другу. Направим ось ОХ в сторону движения мальчика. Тогда проекция скорости мальчика на эту ось будет положительной ($v_1$), а проекция скорости тележки – отрицательной ($-v_2$).

Закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ:
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_4$

Выразим скорость $v_4$:
$v_4 = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:
$v_4 = \frac{50 \text{ кг} \cdot 4.0 \frac{м}{с} - 80 \text{ кг} \cdot 3.0 \frac{м}{с}}{50 \text{ кг} + 80 \text{ кг}} = \frac{200 - 240}{130} \frac{м}{с} = \frac{-40}{130} \frac{м}{с} \approx -0.31 \frac{м}{с}$

Знак "минус" означает, что после взаимодействия система "мальчик-тележка" движется в направлении, противоположном первоначальному движению мальчика. В задаче требуется найти модуль скорости.
$|v_4| = |-0.31 \frac{м}{с}| \approx 0.31 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости тележки, когда она двигалась навстречу мальчику, равен $v_4 \approx 0.31 \frac{м}{с}$.