Номер 439, страница 84 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 9,0 \frac{км}{ч}$

$m = 25$ кг

$v_{отн} = 0,70 \frac{км}{с}$

$M = 20$ т

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 9,0 \frac{км}{ч} = 9,0 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 2,5 \frac{м}{с}$

$v_{отн} = 0,70 \frac{км}{с} = 0,70 \times 1000 \frac{м}{с} = 700 \frac{м}{с}$

$M = 20 \text{ т} = 20 \times 1000 \text{ кг} = 20000 \text{ кг}$

Найти:

$v_п$ — модуль скорости платформы после выстрела.

Решение:

Рассмотрим систему тел «платформа с орудием + снаряд». Внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, поэтому для этой системы применим закон сохранения импульса. Выберем ось OX, направленную вдоль рельсов в сторону начального движения платформы.

Импульс системы до выстрела равен:

$\vec{p}_{до} = (M+m)\vec{v}_0$

Импульс системы после выстрела равен сумме импульсов платформы и снаряда:

$\vec{p}_{после} = M\vec{v}_п + m\vec{v}_с$

где $\vec{v}_п$ — скорость платформы после выстрела, а $\vec{v}_с$ — скорость снаряда относительно земли (абсолютная скорость).

Абсолютная скорость снаряда $\vec{v}_с$ связана со скоростью платформы $\vec{v}_п$ и относительной скоростью снаряда $\vec{v}_{отн}$ (скоростью снаряда относительно орудия) по закону сложения скоростей:

$\vec{v}_с = \vec{v}_п + \vec{v}_{отн}$

Запишем закон сохранения импульса:

$\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$

$(M+m)\vec{v}_0 = M\vec{v}_п + m(\vec{v}_п + \vec{v}_{отн})$

$(M+m)\vec{v}_0 = (M+m)\vec{v}_п + m\vec{v}_{отн}$

Выразим отсюда скорость платформы после выстрела $\vec{v}_п$:

$(M+m)\vec{v}_п = (M+m)\vec{v}_0 - m\vec{v}_{отн}$

$\vec{v}_п = \vec{v}_0 - \frac{m}{M+m}\vec{v}_{отн}$

Теперь рассмотрим два случая, спроецировав полученное векторное уравнение на ось OX.

а) в направлении движения платформы

В этом случае вектор относительной скорости снаряда $\vec{v}_{отн}$ сонаправлен с вектором начальной скорости платформы $\vec{v}_0$. Проекции на ось OX будут положительными: $v_{0x}=v_0$, $v_{отн,х}=v_{отн}$.

$v_п = v_0 - \frac{m}{M+m}v_{отн}$

Подставим числовые значения:

$v_п = 2,5 - \frac{25}{20000 + 25} \times 700 = 2,5 - \frac{25}{20025} \times 700 \approx 2,5 - 0,001248 \times 700 \approx 2,5 - 0,874 \approx 1,626 \frac{м}{с}$

Ответ: Модуль скорости платформы после выстрела составит примерно $1,63 \frac{м}{с}$.

б) в противоположном направлении

В этом случае вектор относительной скорости снаряда $\vec{v}_{отн}$ направлен против вектора начальной скорости платформы $\vec{v}_0$. Проекция $v_{отн}$ на ось OX будет отрицательной: $v_{отн,х}=-v_{отн}$.

$v_п = v_0 - \frac{m}{M+m}(-v_{отн}) = v_0 + \frac{m}{M+m}v_{отн}$

Подставим числовые значения:

$v_п = 2,5 + \frac{25}{20000 + 25} \times 700 = 2,5 + \frac{25}{20025} \times 700 \approx 2,5 + 0,874 \approx 3,374 \frac{м}{с}$

Ответ: Модуль скорости платформы после выстрела составит примерно $3,37 \frac{м}{с}$.