Номер 444, страница 85 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол броска гранаты: $\alpha = 30^\circ$

Начальная скорость гранаты: $v_0 = 10 \text{ м/с}$

Скорость первого осколка после взрыва: $v_1 = 5,0 \text{ м/с}$

Массы осколков: $m_1 = m_2$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние, на которое улетел второй осколок: $l$

Решение:

Решение задачи можно разбить на три этапа: движение гранаты до взрыва, сам взрыв (применение закона сохранения импульса) и движение второго осколка после взрыва.

1. Движение гранаты до точки максимального подъема.

Взрыв происходит в точке максимального подъема. В этой точке вертикальная составляющая скорости гранаты равна нулю, а горизонтальная остается постоянной.

Разложим начальную скорость на компоненты:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м/с}$.

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ м/с}$.

Время подъема до максимальной высоты $H$ найдем из условия $v_y = 0$:

$v_y(t) = v_{0y} - gt \implies 0 = v_{0y} - gt_{up} \implies t_{up} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{5}{10} = 0,5 \text{ с}$.

За это время граната пролетит по горизонтали расстояние $x_{exp}$ и поднимется на высоту $H$:

$x_{exp} = v_{0x} \cdot t_{up} = 5\sqrt{3} \cdot 0,5 = 2,5\sqrt{3} \text{ м}$.

$H = v_{0y}t_{up} - \frac{gt_{up}^2}{2} = 5 \cdot 0,5 - \frac{10 \cdot (0,5)^2}{2} = 2,5 - 1,25 = 1,25 \text{ м}$.

В момент перед взрывом скорость гранаты $\vec{V}$ направлена горизонтально и равна $\vec{V} = (v_{0x}; 0) = (5\sqrt{3}; 0)$.

2. Взрыв гранаты.

Применим закон сохранения импульса для системы "граната". Пусть масса гранаты $M$. Тогда масса каждого из двух одинаковых осколков $m_1 = m_2 = M/2$.

Импульс системы до взрыва: $\vec{P}_{до} = M\vec{V}$.

Импульс системы после взрыва: $\vec{P}_{после} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$.

По условию, первый осколок полетел вертикально вниз, значит, его скорость $\vec{v}_1 = (0; -v_1)$. Скорость второго осколка обозначим $\vec{v}_2 = (v_{2x}; v_{2y})$.

По закону сохранения импульса $\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$:

$M\vec{V} = \frac{M}{2}\vec{v}_1 + \frac{M}{2}\vec{v}_2$.

Сократив на $M$, получим: $\vec{V} = \frac{1}{2}\vec{v}_1 + \frac{1}{2}\vec{v}_2 \implies \vec{v}_2 = 2\vec{V} - \vec{v}_1$.

Найдем компоненты скорости второго осколка:

$v_{2x} = 2V_x - v_{1x} = 2 \cdot (5\sqrt{3}) - 0 = 10\sqrt{3} \text{ м/с}$.

$v_{2y} = 2V_y - v_{1y} = 2 \cdot 0 - (-v_1) = v_1 = 5 \text{ м/с}$.

Таким образом, сразу после взрыва второй осколок имеет скорость $\vec{v}_2 = (10\sqrt{3}; 5)$.

3. Движение второго осколка.

Второй осколок начинает свое движение из точки с координатами $(x_{exp}; H)$ с начальной скоростью $\vec{v}_2$. Найдем время его падения $t_{fall}$ на землю (координата $y=0$).

Движение по вертикали описывается уравнением: $y(t) = H + v_{2y}t - \frac{gt^2}{2}$.

$0 = 1,25 + 5t_{fall} - \frac{10t_{fall}^2}{2} \implies 5t_{fall}^2 - 5t_{fall} - 1,25 = 0$.

Разделим на 1,25: $4t_{fall}^2 - 4t_{fall} - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.

$t_{fall} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс: $t_{fall} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \text{ с}$.

За это время осколок пролетит по горизонтали расстояние $x_{fall}$:

$x_{fall} = v_{2x} \cdot t_{fall} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{3}(1 + \sqrt{2}) \text{ м}$.

4. Общее расстояние.

Искомое расстояние $l$ равно сумме горизонтального пути гранаты до взрыва и горизонтального пути второго осколка после взрыва.

$l = x_{exp} + x_{fall} = 2,5\sqrt{3} + 5\sqrt{3}(1 + \sqrt{2}) = 2,5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{6} = 7,5\sqrt{3} + 5\sqrt{6} \text{ м}$.

Вычислим приближенное значение:

$l \approx 7,5 \cdot 1,732 + 5 \cdot 2,449 \approx 12,99 + 12,245 \approx 25,235 \text{ м}$.

Ответ: $l = 7,5\sqrt{3} + 5\sqrt{6} \text{ м} \approx 25,2 \text{ м}$.