Номер 446, страница 86 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Снаряд разрывается в верхней точке траектории.

Горизонтальное расстояние от пушки до точки разрыва: $L$.

Снаряд разрывается на два одинаковых осколка, следовательно, масса первого осколка $m_1$ равна массе второго осколка $m_2$. Если масса снаряда была $M$, то $m_1 = m_2 = M/2$.

Один из осколков вернулся к пушке по первоначальной траектории.

Найти:

$l$ — расстояние от пушки, на котором упал второй осколок.

Решение:

Рассмотрим движение снаряда до разрыва. Пусть начальная скорость снаряда равна $v_0$, а угол броска к горизонту — $\alpha$. Тогда горизонтальная составляющая скорости равна $v_x = v_0 \cos\alpha$, а вертикальная — $v_y = v_0 \sin\alpha$.

В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости снаряда обращается в ноль, а горизонтальная остается неизменной и равной $v_x$. Обозначим время полета до верхней точки как $t$. Тогда горизонтальное расстояние $L$, пройденное снарядом до этой точки, равно:

$L = v_x \cdot t$

В момент разрыва снаряд массой $M$ имел скорость $\vec{V}$, направленную горизонтально, с модулем $v_x$. Его импульс был $\vec{P} = M\vec{V}$.

Разрыв снаряда является внутренним процессом для системы "снаряд", поэтому для этой системы выполняется закон сохранения импульса. После разрыва система состоит из двух осколков массами $m_1 = M/2$ и $m_2 = M/2$. Пусть их скорости сразу после разрыва равны $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$.

По закону сохранения импульса (в проекции на горизонтальную ось):

$M v_x = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$

По условию, первый осколок вернулся к пушке по первоначальной траектории. Это означает, что в момент разрыва он получил скорость, которая в точности противоположна скорости снаряда в этой же точке до разрыва. Поскольку в верхней точке траектории скорость снаряда была направлена горизонтально и равна $v_x$, то скорость первого осколка сразу после разрыва стала равной $-v_x$ (направлена в сторону пушки).

$v_{1x} = -v_x$

Подставим известные значения в закон сохранения импульса:

$M v_x = \frac{M}{2} (-v_x) + \frac{M}{2} v_{2x}$

Сократим массу $M$:

$v_x = -\frac{1}{2} v_x + \frac{1}{2} v_{2x}$

$v_x + \frac{1}{2} v_x = \frac{1}{2} v_{2x}$

$\frac{3}{2} v_x = \frac{1}{2} v_{2x}$

$v_{2x} = 3v_x$

Таким образом, второй осколок после разрыва получил горизонтальную скорость, в 3 раза превышающую горизонтальную скорость исходного снаряда, и направленную в ту же сторону. Вертикальная составляющая его скорости в момент разрыва равна нулю. Следовательно, он начнет падать с той же высоты, что и верхняя точка траектории.

Время падения второго осколка будет равно времени подъема снаряда до верхней точки, то есть $t$. За это время он пролетит по горизонтали расстояние $\Delta l$:

$\Delta l = v_{2x} \cdot t = (3v_x) \cdot t = 3(v_x \cdot t)$

Поскольку $L = v_x \cdot t$, то:

$\Delta l = 3L$

Это дополнительное расстояние, которое пролетел второй осколок от точки разрыва. Чтобы найти полное расстояние $l$ от пушки, нужно сложить расстояние до точки разрыва $L$ и дополнительное расстояние $\Delta l$:

$l = L + \Delta l = L + 3L = 4L$

Альтернативное решение (через центр масс):

Поскольку разрыв происходит под действием внутренних сил, траектория центра масс системы двух осколков не изменится и будет такой же, как траектория неразорвавшегося снаряда. Если бы снаряд не разорвался, он упал бы на расстоянии $2L$ от пушки (так как траектория симметрична, а $L$ — расстояние до вершины). Следовательно, центр масс двух осколков должен упасть на расстоянии $x_{цм} = 2L$.

Координата центра масс в момент падения определяется формулой:

$x_{цм} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $x_1$ и $x_2$ — координаты падения первого и второго осколков. По условию, первый осколок вернулся к пушке, значит $x_1=0$. Массы осколков равны, $m_1 = m_2$. Искомое расстояние — это $l=x_2$.

$2L = \frac{m \cdot 0 + m \cdot l}{m + m} = \frac{m \cdot l}{2m} = \frac{l}{2}$

Отсюда получаем:

$l = 4L$

Ответ:

Второй осколок упал на расстоянии $l = 4L$ от пушки.