Номер 449, страница 86 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 2,0$ кг

$m_2 = 1,5$ кг

$v_1 = 1,0$ м/с

$v_2 = 2,0$ м/с

$\mu = 0,050$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение двух тел и последующее их движение с трением до остановки.

1. Абсолютно неупругое столкновение.

Для системы из двух тел применим закон сохранения импульса. Выберем ось OX, направленную вдоль вектора скорости первого тела. Поскольку тела движутся навстречу друг другу, проекция скорости второго тела на ось OX будет отрицательной.

Суммарный импульс системы до столкновения:

$p_{до} = m_1 v_1 - m_2 v_2$

После абсолютно неупругого столкновения тела движутся как единое целое с общей массой $M = m_1 + m_2$ и скоростью $u$. Импульс системы после столкновения:

$p_{после} = (m_1 + m_2)u$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2)u$

Отсюда найдем скорость тел сразу после столкновения:

$u = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{2,0 \text{ кг} \cdot 1,0 \text{ м/с} - 1,5 \text{ кг} \cdot 2,0 \text{ м/с}}{2,0 \text{ кг} + 1,5 \text{ кг}} = \frac{2,0 - 3,0}{3,5} \frac{\text{кг} \cdot \text{м/с}}{\text{кг}} = \frac{-1,0}{3,5} \text{ м/с} \approx -0,286 \text{ м/с}$

Знак «минус» указывает, что после столкновения тела движутся в направлении, противоположном начальному движению первого тела (то есть в сторону начального движения второго тела). Модуль скорости тел после столкновения равен $|u| = \frac{1,0}{3,5}$ м/с.

2. Движение с трением до остановки.

После столкновения на слипшиеся тела действует сила трения скольжения, которая сообщает им замедление. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение:

$\vec{F}_{тр} = (m_1 + m_2)\vec{a}$

Сила трения направлена против движения, поэтому в проекции на ось движения $ -F_{тр} = (m_1 + m_2)a$.

Модуль силы трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. При движении по горизонтальной поверхности $N$ равна силе тяжести: $N = (m_1 + m_2)g$.

Таким образом, $F_{тр} = \mu (m_1 + m_2)g$.

Отсюда найдем модуль ускорения (замедления):

$a = \frac{F_{тр}}{m_1 + m_2} = \frac{\mu (m_1 + m_2)g}{m_1 + m_2} = \mu g$

3. Расчет времени движения.

Время движения до полной остановки $\Delta t$ можно найти из кинематической формулы для скорости:

$v_{кон} = v_{нач} - a \Delta t$

Здесь конечная скорость $v_{кон} = 0$, а начальная скорость $v_{нач} = |u|$.

$0 = |u| - a \Delta t$

$\Delta t = \frac{|u|}{a} = \frac{|u|}{\mu g}$

Подставим значения и примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$\Delta t = \frac{\frac{1,0}{3,5} \text{ м/с}}{0,050 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{1,0}{3,5 \cdot 0,5} \text{ с} = \frac{1,0}{1,75} \text{ с} = \frac{4}{7} \text{ с} \approx 0,5714 \text{ с}$

Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результат до двух значащих цифр.

$\Delta t \approx 0,57$ с.

Ответ: тела после столкновения будут двигаться в течение промежутка времени $\Delta t \approx 0,57$ с.