Номер 455, страница 87 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса частицы: $m_1$

Начальная скорость частицы: $\vec{v}_1$

Масса покоящегося тела: $m_2$

Начальная скорость тела: $\vec{v}_2 = 0$

Конечная скорость частицы: $\vec{u}$

Условие перпендикулярности скоростей: $\vec{u} \perp \vec{v}_1$

Найти:

Модуль скорости тела после столкновения: $v$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из налетающей частицы и покоящегося тела. Так как взаимодействие происходит только между этими телами (система замкнута), для неё выполняется закон сохранения импульса.

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения:

$\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$

Импульс системы до столкновения складывается из импульса частицы и импульса тела. Так как тело покоилось, его начальный импульс равен нулю:

$\vec{P}_{до} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 \vec{v}_1$

Импульс системы после столкновения равен сумме импульсов частицы и тела после их взаимодействия. Обозначим скорость тела после столкновения как $\vec{v}_{тела}$, модуль которой по условию равен $v$.

$\vec{P}_{после} = m_1 \vec{u} + m_2 \vec{v}_{тела}$

Приравнивая импульсы, получаем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1 \vec{v}_1 = m_1 \vec{u} + m_2 \vec{v}_{тела}$

Выразим из этого уравнения вектор импульса второго тела:

$m_2 \vec{v}_{тела} = m_1 \vec{v}_1 - m_1 \vec{u}$

Чтобы найти модуль скорости $v$, найдем модуль вектора в левой и правой частях уравнения:

$|m_2 \vec{v}_{тела}| = |m_1 \vec{v}_1 - m_1 \vec{u}|$

$m_2 v = |m_1 (\vec{v}_1 - \vec{u})|$

По условию задачи, вектор конечной скорости частицы $\vec{u}$ перпендикулярен вектору её начальной скорости $\vec{v}_1$. Это означает, что векторы импульсов $m_1 \vec{v}_1$ и $m_1 \vec{u}$ также взаимно перпендикулярны. Модуль разности (или суммы) двух перпендикулярных векторов находится по теореме Пифагора:

$|m_1 \vec{v}_1 - m_1 \vec{u}| = \sqrt{|m_1 \vec{v}_1|^2 + |-m_1 \vec{u}|^2} = \sqrt{(m_1 v_1)^2 + (m_1 u)^2}$

Здесь $v_1 = |\vec{v}_1|$ и $u = |\vec{u}|$ — модули начальной и конечной скоростей частицы.

Подставим это выражение в уравнение для импульсов:

$m_2 v = \sqrt{m_1^2 v_1^2 + m_1^2 u^2}$

Вынесем $m_1^2$ из-под корня:

$m_2 v = \sqrt{m_1^2 (v_1^2 + u^2)} = m_1 \sqrt{v_1^2 + u^2}$

Наконец, выразим искомую скорость $v$:

$v = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{v_1^2 + u^2}$

Ответ: $v = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{v_1^2 + u^2}$