Номер 454, страница 87 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1$ - масса космонавта
$m_2$ - масса космического корабля
$l$ - начальное расстояние между космонавтом и кораблем
Начальные скорости космонавта и корабля равны нулю.

Найти:

$l_1$ - расстояние, которое пройдет космонавт до встречи
$l_2$ - расстояние, которое пройдет корабль до встречи

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из космонавта и космического корабля. Так как космонавт и корабль взаимодействуют только друг с другом (через трос), а внешними силами можно пренебречь, данную систему можно считать замкнутой. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса.

По условию, в начальный момент времени и космонавт, и корабль покоились. Следовательно, их начальные скорости, а значит и начальный импульс всей системы, равны нулю:

$ \vec{p}_{нач} = m_1 \vec{v}_{1,нач} + m_2 \vec{v}_{2,нач} = 0 $

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы должен оставаться равным нулю в любой последующий момент времени. Пусть в некоторый момент времени скорости космонавта и корабля равны $ \vec{v}_1 $ и $ \vec{v}_2 $ соответственно. Тогда:

$ m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 0 $

Из этого векторного равенства следует, что $ m_1 \vec{v}_1 = -m_2 \vec{v}_2 $. Это означает, что векторы скоростей космонавта и корабля в любой момент времени направлены в противоположные стороны, а их модули связаны соотношением:

$ m_1 v_1 = m_2 v_2 $

Так как отношение модулей скоростей постоянно в течение всего времени движения ($ v_1 / v_2 = m_2 / m_1 $), то и отношение расстояний, пройденных космонавтом ($l_1$) и кораблем ($l_2$) за одно и то же время до встречи, будет таким же:

$ \frac{l_1}{l_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1} $

Отсюда получаем первое уравнение:

$ m_1 l_1 = m_2 l_2 $

Космонавт и корабль движутся навстречу друг другу из начального положения на расстоянии $l$. Сумма расстояний, которые они пройдут до момента встречи, равна начальному расстоянию между ними. Это дает нам второе уравнение:

$ l_1 + l_2 = l $

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$ \begin{cases} m_1 l_1 = m_2 l_2 \\ l_1 + l_2 = l \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $l_2$: $ l_2 = l_1 \frac{m_1}{m_2} $. Подставим это выражение во второе уравнение:

$ l_1 + l_1 \frac{m_1}{m_2} = l $

Вынесем $l_1$ за скобки:

$ l_1 \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right) = l $

$ l_1 \left(\frac{m_2 + m_1}{m_2}\right) = l $

Отсюда находим расстояние, пройденное космонавтом:

$ l_1 = l \frac{m_2}{m_1 + m_2} $

Для нахождения расстояния, пройденного кораблем, подставим найденное значение $l_1$ в уравнение $ l_2 = l - l_1 $:

$ l_2 = l - l \frac{m_2}{m_1 + m_2} = l \left(1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2}\right) = l \left(\frac{m_1 + m_2 - m_2}{m_1 + m_2}\right) $

$ l_2 = l \frac{m_1}{m_1 + m_2} $

Таким образом, пройденные телами расстояния до их встречи обратно пропорциональны их массам.

Ответ: Расстояние, которое пройдет космонавт до встречи: $ l_1 = l \frac{m_2}{m_1 + m_2} $. Расстояние, которое пройдет корабль до встречи: $ l_2 = l \frac{m_1}{m_1 + m_2} $.