Номер 458, страница 88 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 500 \text{ см} = 5.0 \text{ м}$

$M = 280 \text{ кг}$

$m_1 = 70.0 \text{ кг}$

$m_2 = 140 \text{ кг}$

Найти:

$l_1$

Решение:

Систему, состоящую из лодки и двух рыбаков, можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила Архимеда) уравновешены, а сопротивлением воды можно пренебречь. В замкнутой системе центр масс остается в покое, если он был в покое изначально. Лодка изначально неподвижна, следовательно, центр масс системы не должен смещаться при перемещении рыбаков внутри лодки.

Введем систему отсчета, связанную с берегом. Пусть ось $OX$ направлена вдоль лодки. Запишем условие сохранения положения центра масс системы:

$\Delta x_{цм} = 0$,

где $\Delta x_{цм}$ — смещение центра масс всей системы.

Смещение центра масс можно выразить через смещения отдельных тел системы:

$\Delta x_{цм} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 + M \Delta x_M}{m_1 + m_2 + M}$,

где $\Delta x_1$, $\Delta x_2$ и $\Delta x_M$ — смещения первого рыбака, второго рыбака и лодки относительно берега соответственно.

Пусть лодка сместилась на расстояние $l_1$ относительно берега, то есть $\Delta x_M = l_1$. Рыбаки меняются местами, значит, относительно лодки они проходят расстояние $l$. Выберем положительное направление оси $OX$ в сторону, куда первоначально смотрел второй (более тяжелый) рыбак. Тогда смещение первого рыбака относительно лодки будет $+l$, а второго — $-l$.

Смещение рыбаков относительно берега будет суммой их смещения относительно лодки и смещения самой лодки:

$\Delta x_1 = l + l_1$

$\Delta x_2 = -l + l_1$

Подставим эти выражения в формулу для смещения центра масс и приравняем ее к нулю:

$\frac{m_1 (l + l_1) + m_2 (-l + l_1) + M l_1}{m_1 + m_2 + M} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю, то числитель должен быть равен нулю:

$m_1 (l + l_1) + m_2 (-l + l_1) + M l_1 = 0$

$m_1 l + m_1 l_1 - m_2 l + m_2 l_1 + M l_1 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $l_1$:

$l_1 (m_1 + m_2 + M) = m_2 l - m_1 l$

$l_1 (m_1 + m_2 + M) = (m_2 - m_1) l$

Отсюда выразим искомое смещение лодки $l_1$:

$l_1 = \frac{(m_2 - m_1) l}{m_1 + m_2 + M}$

Подставим числовые значения:

$l_1 = \frac{(140 \text{ кг} - 70.0 \text{ кг}) \cdot 5.0 \text{ м}}{70.0 \text{ кг} + 140 \text{ кг} + 280 \text{ кг}} = \frac{70 \cdot 5.0}{490} \text{ м} = \frac{350}{490} \text{ м} = \frac{35}{49} \text{ м} = \frac{5}{7} \text{ м}$

$l_1 \approx 0.714 \text{ м}$

Положительный знак результата означает, что лодка сместилась в сторону первоначального положения более тяжелого рыбака.

Ответ: лодка сместится на расстояние $l_1 = \frac{5}{7} \text{ м} \approx 0.714 \text{ м}$.