Номер 465, страница 88 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр колодца, $d = 1,0 \text{ м}$

Глубина колодца, $h = 10 \text{ м}$

Плотность грунта, $\rho = 1,5 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Минимальную работу $A$.

Решение:

Минимальная работа $A$, которую должна совершить внешняя сила при подъеме грунта, равна изменению его потенциальной энергии. Грунт поднимают с определенной глубины на поверхность Земли. Изменение потенциальной энергии тела можно рассчитать по формуле $\Delta E_p = mgh_{цм}$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, а $h_{цм}$ — высота, на которую поднимается центр масс тела. Таким образом, работа равна $A = mgh_{цм}$.

Весь извлеченный грунт можно рассматривать как единое тело — цилиндр высотой $h$ и диаметром $d$. Центр масс однородного цилиндра находится в его геометрическом центре, то есть на оси симметрии на середине высоты. Изначально центр масс всего грунта находится на глубине $\frac{h}{2}$ от поверхности. При рытье колодца весь грунт поднимается на поверхность (нулевой уровень), следовательно, высота подъема центра масс грунта составляет $h_{цм} = \frac{h}{2}$.

Вычислим массу грунта, которую необходимо извлечь. Для этого сначала найдем объем колодца (цилиндра). Объем равен $V = S \cdot h$, где $S$ — площадь основания. Площадь основания (круга) равна $S = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Тогда объем грунта: $V = \frac{\pi d^2 h}{4}$.

Масса грунта вычисляется по формуле $m = \rho V$, откуда получаем $m = \rho \frac{\pi d^2 h}{4}$.

Теперь можем найти работу, подставив выражения для массы $m$ и высоты подъема центра масс $h_{цм}$ в формулу для работы: $A = m g h_{цм} = \left(\rho \frac{\pi d^2 h}{4}\right) g \left(\frac{h}{2}\right) = \frac{\rho \pi g d^2 h^2}{8}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу (примем $\pi \approx 3,14$):

$A = \frac{1,5 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3,14 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1,0 \text{ м})^2 \cdot (10 \text{ м})^2}{8} = \frac{1500 \cdot 3,14 \cdot 9,8 \cdot 1 \cdot 100}{8} \text{ Дж} = \frac{4615800}{8} \text{ Дж} = 576975 \text{ Дж}$.

Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результат:

$A \approx 5,8 \cdot 10^5 \text{ Дж} = 580 \text{ кДж}$.

Ответ: $A \approx 580 \text{ кДж}$.