Номер 469, страница 89 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Глубина шахты $h = 0,20$ км
Масса груза $m = 0,50$ т
Линейная плотность каната $\mu = \frac{m_1}{l_1} = 1,5$ кг/м

Перевод в систему СИ:

$h = 0,20 \, \text{км} = 200 \, \text{м}$
$m = 0,50 \, \text{т} = 500 \, \text{кг}$

Найти:

Работу $A$
Коэффициент полезного действия $\eta$

Решение:

Полная работа $A$, совершаемая силой упругости каната в точке его крепления к подъемному механизму, складывается из полезной работы по подъему груза ($A_{полезная}$) и работы по подъему самого каната ($A_{каната}$). $A = A_{полезная} + A_{каната}$. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

Работа А, совершенная силой упругости каната

1. Полезная работа ($A_{полезная}$) — это работа по подъему груза на высоту $h$. Сила тяжести груза постоянна, поэтому работа вычисляется по формуле: $A_{полезная} = mgh$
$A_{полезная} = 500 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 200 \, \text{м} = 1 \, 000 \, 000 \, \text{Дж} = 1,0 \, \text{МДж}$.

2. Работа по подъему каната ($A_{каната}$). По мере подъема масса свисающей части каната уменьшается. Работа по подъему такого тела равна работе по подъему его центра масс. Центр масс однородного каната длиной $h$ находится на середине его длины, то есть на глубине $h/2$. Сначала найдем полную массу каната: $m_{каната} = \mu \cdot h = 1,5 \, \text{кг/м} \cdot 200 \, \text{м} = 300 \, \text{кг}$.
Работа по подъему каната равна: $A_{каната} = m_{каната} g \frac{h}{2}$
$A_{каната} = 300 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot \frac{200 \, \text{м}}{2} = 300 \, 000 \, \text{Дж} = 0,3 \, \text{МДж}$.

3. Полная работа $A$ равна сумме полезной работы и работы по подъему каната: $A = A_{полезная} + A_{каната} = 1 \, 000 \, 000 \, \text{Дж} + 300 \, 000 \, \text{Дж} = 1 \, 300 \, 000 \, \text{Дж} = 1,3 \, \text{МДж}$.
Ответ: работа, совершенная силой упругости каната, равна $1,3 \cdot 10^6$ Дж или $1,3$ МДж.

Коэффициент полезного действия η установки

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе.
$\eta = \frac{A_{полезная}}{A}$
$\eta = \frac{1 \, 000 \, 000 \, \text{Дж}}{1 \, 300 \, 000 \, \text{Дж}} = \frac{10}{13} \approx 0,769$.
Для выражения в процентах, результат умножается на 100%: $\eta \approx 76,9\%$.
Округляя до двух значащих цифр в соответствии с данными задачи, получаем $\eta \approx 77\%$.
Ответ: коэффициент полезного действия установки $\eta \approx 77\%$.