Номер 468, страница 89 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$L$ – длина доски

$l_1 = \frac{1}{4}L$ – расстояние от камня до левого конца доски

$P_1$ – вес доски

$P_2$ – вес камня

$P_1 = \frac{1}{5}P_2$

$h$ – высота, на которую поднимают камень

Все данные представлены в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

$\frac{A_{пр}}{A_{лев}}$

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой для медленного подъема системы, равна изменению ее потенциальной энергии. Примем начальный уровень потенциальной энергии (когда доска лежит горизонтально) равным нулю.

1. Рассмотрим случай, когда поднимают правый конец доски. В этом случае левый конец доски является осью вращения.
Пусть доску подняли на такой угол $\alpha$, что камень оказался на высоте $h$. Высота подъема камня связана с углом наклона соотношением $h = l_1 \sin\alpha$.
Центр масс однородной доски находится посередине, на расстоянии $\frac{L}{2}$ от левого конца. Высота подъема центра масс доски $h_1$ будет равна $h_1 = \frac{L}{2} \sin\alpha$.
Выразим $h_1$ через $h$. Из первого соотношения $\sin\alpha = \frac{h}{l_1}$. Подставим это во второе: $h_1 = \frac{L}{2} \frac{h}{l_1}$.
Зная, что $l_1 = \frac{1}{4}L$, получим: $h_1 = \frac{L}{2} \frac{h}{\frac{1}{4}L} = 2h$.
Работа $A_{пр}$ равна суммарному изменению потенциальной энергии камня и доски:
$A_{пр} = P_2 h + P_1 h_1 = P_2 h + P_1 (2h) = h(P_2 + 2P_1)$.

2. Рассмотрим случай, когда поднимают левый конец доски. Осью вращения теперь является правый конец.
Расстояние от камня до оси вращения (правого конца) равно $L - l_1 = L - \frac{1}{4}L = \frac{3}{4}L$.
Расстояние от центра масс доски до оси вращения равно $\frac{L}{2}$.
Пусть доску подняли на угол $\beta$, чтобы камень оказался на высоте $h$. Тогда $h = (L-l_1)\sin\beta$.
Высота подъема центра масс доски $h_2$ равна $h_2 = \frac{L}{2}\sin\beta$.
Выразим $h_2$ через $h$. Из первого соотношения $\sin\beta = \frac{h}{L-l_1}$. Подставим во второе: $h_2 = \frac{L}{2} \frac{h}{L-l_1}$.
Подставив значение $L-l_1 = \frac{3}{4}L$, получим: $h_2 = \frac{L}{2} \frac{h}{\frac{3}{4}L} = \frac{2}{3}h$.
Работа $A_{лев}$ равна:
$A_{лев} = P_2 h + P_1 h_2 = P_2 h + P_1 (\frac{2}{3}h) = h(P_2 + \frac{2}{3}P_1)$.

3. Теперь найдем отношение работ $A_{пр}$ и $A_{лев}$.
$\frac{A_{пр}}{A_{лев}} = \frac{h(P_2 + 2P_1)}{h(P_2 + \frac{2}{3}P_1)} = \frac{P_2 + 2P_1}{P_2 + \frac{2}{3}P_1}$.
Подставим в это выражение соотношение $P_1 = \frac{1}{5}P_2$:
$\frac{A_{пр}}{A_{лев}} = \frac{P_2 + 2(\frac{1}{5}P_2)}{P_2 + \frac{2}{3}(\frac{1}{5}P_2)} = \frac{P_2(1 + \frac{2}{5})}{P_2(1 + \frac{2}{15})} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{15}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычисления:
$\frac{A_{пр}}{A_{лев}} = \frac{\frac{5+2}{5}}{\frac{15+2}{15}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{15}} = \frac{7}{5} \cdot \frac{15}{17} = \frac{7 \cdot 3}{17} = \frac{21}{17}$.

Ответ: $\frac{A_{пр}}{A_{лев}} = \frac{21}{17}$.