Номер 452, страница 87 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

(452.)

Дано:

Масса первой частицы: $m_1$

Скорость первой частицы: $\vec{v}_1$

Масса второй частицы: $m_2$

Скорость второй частицы: $\vec{v}_2$

Согласно рисунку, векторы скоростей взаимно перпендикулярны. Направим оси координат так, чтобы вектор $\vec{v}_1$ был сонаправлен с осью OX, а вектор $\vec{v}_2$ — с осью OY.

Столкновение абсолютно неупругое.

Найти:

Модуль скорости частиц после столкновения: $v$

Решение:

Абсолютно неупругое столкновение означает, что после него частицы движутся как единое целое с общей скоростью $\vec{v}$ и общей массой $(m_1 + m_2)$.

Для замкнутой системы, которой являются две сталкивающиеся частицы, выполняется закон сохранения импульса. В векторной форме он записывается следующим образом:

$\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Чтобы найти модуль искомой скорости $v$, запишем это векторное уравнение в проекциях на оси координат OX и OY. Обозначим компоненты скорости $\vec{v}$ как $v_x$ и $v_y$.

Проекция на ось OX:

$m_1v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2)v_x$

Отсюда находим x-компоненту скорости после столкновения:

$v_x = \frac{m_1v_1}{m_1+m_2}$

Проекция на ось OY:

$m_1 \cdot 0 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v_y$

Отсюда находим y-компоненту скорости после столкновения:

$v_y = \frac{m_2v_2}{m_1+m_2}$

Модуль скорости $v$ после столкновения можно найти по теореме Пифагора, так как мы знаем его перпендикулярные компоненты $v_x$ и $v_y$:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Подставим полученные выражения для компонент:

$v = \sqrt{\left(\frac{m_1v_1}{m_1+m_2}\right)^2 + \left(\frac{m_2v_2}{m_1+m_2}\right)^2}$

Вынесем общий знаменатель из-под корня:

$v = \sqrt{\frac{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2}{(m_1+m_2)^2}}$

Таким образом, модуль скорости частиц после абсолютно неупругого столкновения равен:

$v = \frac{\sqrt{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2}}{m_1+m_2}$

Ответ: $v = \frac{\sqrt{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2}}{m_1+m_2}$.