Номер 448, страница 86 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 1,0 \text{ кг}$

$v_1 = 1,0 \text{ м/с}$

$m_2 = 0,50 \text{ кг}$

Для случая б): $v_2 = 0,50 \text{ м/с}$ (сонаправлено с $v_1$)

Для случая в): $v_2 = 0,50 \text{ м/с}$ (противоположно $v_1$)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v$ - модуль скорости тел после столкновения для случаев а), б), в).

Решение:

Данная задача описывает абсолютно неупругое столкновение, при котором тела после взаимодействия движутся как единое целое. Для замкнутой системы, состоящей из этих двух тел, выполняется закон сохранения импульса. В векторной форме закон сохранения импульса записывается следующим образом:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = (m_1 + m_2) \vec{v}$

где $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — скорости тел до столкновения, а $\vec{v}$ — их общая скорость после столкновения.

Для решения задачи выберем ось координат $OX$, направленную вдоль вектора начальной скорости первого тела $\vec{v_1}$. Тогда закон сохранения импульса в проекции на эту ось будет иметь вид:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = (m_1 + m_2) v_x$

Отсюда можно выразить проекцию скорости тел после столкновения:

$v_x = \frac{m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}}{m_1 + m_2}$

Так как ось $OX$ сонаправлена с $\vec{v_1}$, то $v_{1x} = v_1 = 1,0 \text{ м/с}$. Знак проекции $v_{2x}$ будет зависеть от направления движения второго тела. Модуль итоговой скорости будет равен $|v_x|$.

а) второе тело перед столкновением было неподвижно

В этом случае начальная скорость второго тела $v_2 = 0$, следовательно, и ее проекция $v_{2x} = 0$.

Подставим значения в формулу:

$v = \frac{m_1 v_1 + m_2 \cdot 0}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 1,0 \text{ м/с}}{1,0 \text{ кг} + 0,50 \text{ кг}} = \frac{1,0}{1,5} \text{ м/с} = \frac{2}{3} \text{ м/с} \approx 0,67 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости тел после столкновения равен приблизительно $0,67 \text{ м/с}$.

б) двигалось со скоростью, модуль которой $v_2 = 0,50 \text{ м/с}$, в том же направлении, что и первое тело

В этом случае вектор скорости второго тела $\vec{v_2}$ сонаправлен с осью $OX$, поэтому его проекция положительна: $v_{2x} = v_2 = 0,50 \text{ м/с}$.

Подставим значения в формулу:

$v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 1,0 \text{ м/с} + 0,50 \text{ кг} \cdot 0,50 \text{ м/с}}{1,0 \text{ кг} + 0,50 \text{ кг}} = \frac{1,0 + 0,25}{1,5} \text{ м/с} = \frac{1,25}{1,5} \text{ м/с} = \frac{5}{6} \text{ м/с} \approx 0,83 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости тел после столкновения равен приблизительно $0,83 \text{ м/с}$.

в) двигалось со скоростью, модуль которой $v_2 = 0,50 \text{ м/с}$, в направлении, противоположном направлению движения первого тела

В этом случае вектор скорости второго тела $\vec{v_2}$ направлен против оси $OX$, поэтому его проекция отрицательна: $v_{2x} = -v_2 = -0,50 \text{ м/с}$.

Подставим значения в формулу:

$v_x = \frac{m_1 v_1 + m_2 (-v_2)}{m_1 + m_2} = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 1,0 \text{ м/с} - 0,50 \text{ кг} \cdot 0,50 \text{ м/с}}{1,0 \text{ кг} + 0,50 \text{ кг}} = \frac{1,0 - 0,25}{1,5} \text{ м/с} = \frac{0,75}{1,5} \text{ м/с} = 0,50 \text{ м/с}$

Так как $v_x > 0$, тела после столкновения движутся в первоначальном направлении движения первого тела. Модуль скорости $v = |v_x| = 0,50 \text{ м/с}$.

Ответ: модуль скорости тел после столкновения равен $0,50 \text{ м/с}$.