Номер 441, страница 85 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 12 \text{ м/с}$

$m_1 = 10 \text{ кг}$

$m_2 = 5,0 \text{ кг}$

$v_1 = 25 \text{ м/с}$

$\alpha = 30^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_2 - ?$, направление скорости $\vec{v}_2$

Решение:

Поскольку разрыв снаряда — это внутренний процесс, который происходит очень быстро, мы можем применить закон сохранения импульса для системы «снаряд». Внешняя сила (сила тяжести) за малое время разрыва не успевает значительно изменить суммарный импульс системы.

В верхней точке траектории скорость снаряда направлена горизонтально. Выберем систему координат так, чтобы ось OX была направлена горизонтально по ходу движения снаряда, а ось OY — вертикально вверх. Тогда до разрыва импульс снаряда был направлен вдоль оси OX.

Масса снаряда до разрыва: $M = m_1 + m_2 = 10 \text{ кг} + 5,0 \text{ кг} = 15 \text{ кг}$.

Импульс снаряда до разрыва: $\vec{P} = M\vec{v}$.

В проекциях на оси координат:

$P_x = Mv = (m_1 + m_2)v$

$P_y = 0$

После разрыва суммарный импульс системы равен векторной сумме импульсов осколков: $\vec{P'} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$.

Скорость первого (большего) осколка $\vec{v}_1$ направлена под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту вниз и вперед. Найдем ее проекции на оси:

$v_{1x} = v_1 \cos\alpha$

$v_{1y} = -v_1 \sin\alpha$ (знак минус, так как скорость направлена вниз)

Пусть проекции скорости второго (меньшего) осколка равны $v_{2x}$ и $v_{2y}$.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси:

Ось OX: $P_x = P'_x \implies (m_1 + m_2)v = m_1v_{1x} + m_2v_{2x}$

Ось OY: $P_y = P'_y \implies 0 = m_1v_{1y} + m_2v_{2y}$

Из уравнения для оси OY найдем проекцию скорости второго осколка $v_{2y}$:

$0 = m_1(-v_1 \sin\alpha) + m_2v_{2y}$

$m_2v_{2y} = m_1v_1 \sin\alpha$

$v_{2y} = \frac{m_1v_1 \sin\alpha}{m_2} = \frac{10 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ)}{5,0 \text{ кг}} = \frac{250 \cdot 0,5}{5,0} = 25 \text{ м/с}$

Положительное значение $v_{2y}$ означает, что второй осколок полетел вверх.

Из уравнения для оси OX найдем проекцию скорости второго осколка $v_{2x}$:

$(m_1 + m_2)v = m_1v_1 \cos\alpha + m_2v_{2x}$

$m_2v_{2x} = (m_1 + m_2)v - m_1v_1 \cos\alpha$

$v_{2x} = \frac{(m_1 + m_2)v - m_1v_1 \cos\alpha}{m_2} = \frac{15 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} - 10 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с} \cdot \cos(30^\circ)}{5,0 \text{ кг}}$

$v_{2x} = \frac{180 - 250 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5,0} = \frac{180 - 125\sqrt{3}}{5,0} = 36 - 25\sqrt{3} \approx 36 - 25 \cdot 1,732 = 36 - 43,3 = -7,3 \text{ м/с}$

Отрицательное значение $v_{2x}$ означает, что второй осколок полетел назад, против начального направления движения снаряда.

Теперь найдем модуль скорости второго осколка по теореме Пифагора:

$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{(-7,3 \text{ м/с})^2 + (25 \text{ м/с})^2} = \sqrt{53,29 + 625} = \sqrt{678,29} \approx 26 \text{ м/с}$

Определим направление скорости. Найдем угол $\beta$, который вектор скорости $\vec{v}_2$ составляет с горизонталью:

$\tan\beta = \frac{|v_{2y}|}{|v_{2x}|} = \frac{25}{7,3} \approx 3,42$

$\beta = \arctan(3,42) \approx 74^\circ$

Скорость меньшего осколка направлена под углом $74^\circ$ к горизонту вверх и назад.

Ответ: модуль скорости меньшего осколка $v_2 \approx 26$ м/с, направление — под углом $\beta \approx 74^\circ$ к горизонту вверх и в сторону, противоположную начальному движению снаряда.