Номер 436, страница 84 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса охотника с лодкой $M = 70 \text{ кг}$

Масса дроби $m = 35 \text{ г} = 0,035 \text{ кг}$

Начальная скорость дроби $v_0 = 0,32 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 320 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Угол выстрела к горизонту $\alpha = 60^\circ$

Начальная скорость лодки с охотником до выстрела равна нулю.

Найти:

Модуль скорости лодки после выстрела $v_1$

Решение:

Рассмотрим замкнутую систему "охотник с лодкой + дробь". До выстрела система находилась в состоянии покоя, поэтому её суммарный импульс был равен нулю.

Во время выстрела на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы (силой сопротивления воды и воздуха пренебрегаем). Следовательно, мы можем применить закон сохранения импульса для проекции на горизонтальную ось.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$

Где $\vec{P}_{до}$ – суммарный импульс системы до выстрела, а $\vec{P}_{после}$ – суммарный импульс системы после выстрела.

Поскольку до выстрела система покоилась, $\vec{P}_{до} = 0$.

После выстрела импульс системы равен векторной сумме импульса лодки с охотником ($M\vec{v}_1$) и импульса дроби ($m\vec{v}_0$):

$\vec{P}_{после} = M\vec{v}_1 + m\vec{v}_0$

Применяя закон сохранения импульса, получаем:

$0 = M\vec{v}_1 + m\vec{v}_0$

Выберем горизонтальную ось $Ox$, направленную в сторону выстрела. Лодка будет двигаться в противоположную сторону (отдача). Спроектируем векторное уравнение на эту ось.

Проекция скорости дроби на ось $Ox$ равна $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$.

Проекция скорости лодки на ось $Ox$ будет отрицательной, так как лодка движется против оси $Ox$. Обозначим модуль скорости лодки как $v_1$, тогда её проекция на ось $Ox$ будет $-v_1$.

Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$ примет вид:

$0 = m \cdot (v_0 \cos(\alpha)) + M \cdot (-v_1)$

$M v_1 = m v_0 \cos(\alpha)$

Выразим отсюда искомую скорость лодки $v_1$:

$v_1 = \frac{m v_0 \cos(\alpha)}{M}$

Подставим числовые значения в формулу. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = 0,5$:

$v_1 = \frac{0,035 \text{ кг} \cdot 320 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \cos(60^\circ)}{70 \text{ кг}} = \frac{0,035 \cdot 320 \cdot 0,5}{70} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 = \frac{11,2 \cdot 0,5}{70} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{5,6}{70} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,08 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль скорости лодки после выстрела равен $0,08 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.