Номер 440, страница 85 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость снаряда: $\vec{v_0}$

Угол вылета снаряда к горизонту: $\alpha$

Массы осколков: $m_1 = m_2$

Направление скорости первого осколка после разрыва: вертикально вниз

Угол движения второго осколка к горизонту после разрыва: $\beta$

Найти:

Модуль скорости второго осколка: $v_2$

Решение:

Пусть масса снаряда до разрыва равна $M$. Так как он разрывается на два осколка одинаковой массы, то масса каждого осколка $m_1 = m_2 = M/2$.

Рассмотрим движение снаряда до разрыва. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости снаряда равна нулю ($v_y = 0$). Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета (сопротивлением воздуха пренебрегаем) и равна начальной горизонтальной скорости:

$v_p = v_{0x} = v_0 \cos \alpha$

Таким образом, в момент перед разрывом снаряд движется горизонтально со скоростью $v_p$. Его импульс в этот момент равен:

$\vec{P} = M \vec{v_p}$

Проекция этого импульса на горизонтальную ось Ox:

$P_x = M v_p = M v_0 \cos \alpha$

Проекция на вертикальную ось Oy:

$P_y = 0$

Сразу после разрыва система состоит из двух осколков. Разрыв происходит под действием внутренних сил, поэтому закон сохранения импульса для системы "снаряд" применим. Так как внешняя сила (сила тяжести) направлена вертикально, то проекция импульса системы на горизонтальную ось сохраняется.

Импульс системы после разрыва $\vec{P'}$ равен сумме импульсов двух осколков:

$\vec{P'} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

Рассмотрим проекцию этого импульса на горизонтальную ось Ox. По условию, первый осколок падает по вертикали, следовательно, его горизонтальная составляющая скорости равна нулю: $v_{1x} = 0$. Второй осколок начинает двигаться под углом $\beta$ к горизонту, его горизонтальная составляющая скорости равна $v_{2x} = v_2 \cos \beta$.

Проекция импульса системы на ось Ox после разрыва:

$P'_x = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = \frac{M}{2} \cdot 0 + \frac{M}{2} v_2 \cos \beta = \frac{M}{2} v_2 \cos \beta$

Согласно закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$P_x = P'_x$

$M v_0 \cos \alpha = \frac{M}{2} v_2 \cos \beta$

Сократим массу $M$ в обеих частях уравнения:

$v_0 \cos \alpha = \frac{1}{2} v_2 \cos \beta$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v_2$:

$v_2 = \frac{2 v_0 \cos \alpha}{\cos \beta}$

Ответ: $v_2 = \frac{2 v_0 \cos \alpha}{\cos \beta}$