Номер 438, страница 84 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Масса платформы: $M = 16 \text{ т}$
Масса орудия: $m = 3,0 \text{ т}$
Масса снаряда: $m_1 = 50 \text{ кг}$
Угол наклона ствола: $\alpha = 60^{\circ}$
Расстояние отката платформы: $l = 3,0 \text{ м}$
Время отката: $\Delta t = 6,0 \text{ с}$

$M = 16 \text{ т} = 16 \cdot 10^3 \text{ кг} = 16000 \text{ кг}$
$m = 3,0 \text{ т} = 3 \cdot 10^3 \text{ кг} = 3000 \text{ кг}$

Найти:
Модуль скорости снаряда $v_c$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из платформы, орудия и снаряда. До выстрела система покоилась, следовательно, ее суммарный импульс был равен нулю. Выстрел является внутренним процессом для системы, поэтому мы можем применить закон сохранения импульса. Так как платформа может двигаться только в горизонтальном направлении (вдоль железнодорожного полотна), будем рассматривать проекции импульсов на это направление.

Пусть ось $Ox$ направлена горизонтально вдоль движения снаряда. Начальный импульс системы в проекции на эту ось равен нулю: $p_{0x} = 0$.

После выстрела снаряд имеет скорость $v_c$, направленную под углом $\alpha$ к горизонту. Проекция его импульса на ось $Ox$ равна $p_{c,x} = m_1 v_c \cos \alpha$.

Платформа с орудием общей массой $(M+m)$ откатывается в противоположном направлении. Пусть $v_п$ — начальная скорость платформы сразу после выстрела. Тогда проекция импульса платформы с орудием на ось $Ox$ будет $p_{п,x} = -(M+m)v_п$.

Согласно закону сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:
$p_{0x} = p_{c,x} + p_{п,x}$
$0 = m_1 v_c \cos \alpha - (M+m)v_п$

Отсюда можно выразить искомую скорость снаряда $v_c$:
$m_1 v_c \cos \alpha = (M+m)v_п$
$v_c = \frac{(M+m)v_п}{m_1 \cos \alpha}$

Теперь найдем начальную скорость отката платформы $v_п$. По условию, платформа откатилась на расстояние $l$ за время $\Delta t$. Это означает, что после получения начальной скорости $v_п$ она двигалась равнозамедленно до полной остановки под действием сил трения. Для равнопеременного движения расстояние можно найти как произведение средней скорости на время:
$l = \frac{v_{\text{начальная}} + v_{\text{конечная}}}{2} \Delta t$

В нашем случае $v_{\text{начальная}} = v_п$, а $v_{\text{конечная}} = 0$.
$l = \frac{v_п + 0}{2} \Delta t = \frac{v_п \Delta t}{2}$

Выразим отсюда $v_п$:
$v_п = \frac{2l}{\Delta t}$

Подставим это выражение в формулу для скорости снаряда $v_c$:
$v_c = \frac{(M+m) \cdot 2l}{m_1 \cos \alpha \cdot \Delta t}$

Произведем вычисления. Общая масса платформы и орудия:
$M+m = 16000 \text{ кг} + 3000 \text{ кг} = 19000 \text{ кг}$

Значение $\cos 60^{\circ} = 0,5$.

Подставим все значения в итоговую формулу:
$v_c = \frac{19000 \text{ кг} \cdot 2 \cdot 3,0 \text{ м}}{50 \text{ кг} \cdot 0,5 \cdot 6,0 \text{ с}} = \frac{19000 \cdot 6}{25 \cdot 6} = \frac{19000}{25} = 760 \text{ м/с}$

Ответ: $760 \text{ м/с}$.