Номер 437, страница 84 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 0,50 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 500 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$F_{\text{тр}} = 4,5 \text{ кН} = 4500 \text{ Н}$

$M = 1,5 \text{ т} = 1500 \text{ кг}$

$m = 12 \text{ кг}$

Найти:

$v_2, l$

Решение:

1. Найдем модуль скорости ствола орудия в начале отката ($v_2$).

Систему «орудие-снаряд» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении во время выстрела, так как внешние силы (сила тяжести и реакция опоры) скомпенсированы, а силы сопротивления воздуха пренебрежимо малы по сравнению с внутренними силами. Поэтому для этой системы применим закон сохранения импульса.

До выстрела и снаряд, и орудие покоились, поэтому их суммарный импульс был равен нулю.

$\vec{p}_{\text{до}} = 0$

После выстрела снаряд движется со скоростью $\vec{v_1}$, а ствол орудия — со скоростью $\vec{v_2}$. Суммарный импульс системы после выстрела равен:

$\vec{p}_{\text{после}} = m\vec{v_1} + M\vec{v_2}$

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{\text{до}} = \vec{p}_{\text{после}}$:

$0 = m\vec{v_1} + M\vec{v_2}$

Спроецируем это векторное уравнение на горизонтальную ось, направленную по движению снаряда. Скорость отката $\vec{v_2}$ будет направлена в противоположную сторону, поэтому ее проекция будет отрицательной.

$0 = mv_1 - Mv_2$

Отсюда выразим модуль скорости отката ствола $v_2$:

$v_2 = \frac{mv_1}{M}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \frac{12 \text{ кг} \cdot 500 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{1500 \text{ кг}} = \frac{6000}{1500} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Найдем расстояние $l$, на которое сместится ствол.

После выстрела ствол начинает движение со скоростью $v_2$ и останавливается под действием силы торможения $F_{\text{тр}}$. Для нахождения тормозного пути воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него сил.

$\Delta E_k = A$

Начальная кинетическая энергия ствола $E_{k1} = \frac{Mv_2^2}{2}$. Конечная кинетическая энергия ствола $E_{k2} = 0$, так как он останавливается. Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = 0 - \frac{Mv_2^2}{2} = -\frac{Mv_2^2}{2}$

Работа силы торможения $A_{\text{тр}}$ отрицательна, так как сила направлена против перемещения:

$A_{\text{тр}} = -F_{\text{тр}} \cdot l$

Приравниваем работу и изменение кинетической энергии:

$-F_{\text{тр}} \cdot l = -\frac{Mv_2^2}{2}$

Отсюда выражаем расстояние отката $l$:

$l = \frac{Mv_2^2}{2F_{\text{тр}}}$

Подставим значения:

$l = \frac{1500 \text{ кг} \cdot (4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 4500 \text{ Н}} = \frac{1500 \cdot 16}{9000} \text{ м} = \frac{24000}{9000} \text{ м} = \frac{8}{3} \text{ м} \approx 2,7 \text{ м}$

Ответ: модуль скорости ствола орудия в начале отката $v_2 = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$; расстояние, на которое сместится ствол $l \approx 2,7 \text{ м}$.