Номер 430, страница 83 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса первой частицы: $m_1 = m$
Начальная скорость первой частицы: $\vec{v}_1 = \vec{v}$
Масса второй частицы: $m_2 = 2m$
Начальная скорость второй частицы: $|\vec{v}_2| = 2v$, $\vec{v}_2 \perp \vec{v}_1$
Действующие силы: $\vec{F}_1 = \vec{F}_2 = \vec{F}$
Промежуток времени: $\Delta t$
Конечная скорость первой частицы: $\vec{v}'_1 = -2\vec{v}$

Найти:

Модуль конечной скорости второй частицы: $v'_2$

Решение:

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на него:

$\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$

По условию, на обе частицы в течение одинакового промежутка времени $\Delta t$ действуют одинаковые силы $\vec{F}$. Это означает, что импульсы сил, сообщенные обеим частицам, равны. Следовательно, изменения импульсов частиц также равны:

$\Delta \vec{p}_1 = \Delta \vec{p}_2$

Найдем изменение импульса первой частицы. Её начальный импульс равен $\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1 = m\vec{v}$. Конечный импульс, согласно условию, равен $\vec{p}'_1 = m_1 \vec{v}'_1 = m(-2\vec{v}) = -2m\vec{v}$.

Тогда изменение импульса первой частицы составляет:

$\Delta \vec{p}_1 = \vec{p}'_1 - \vec{p}_1 = -2m\vec{v} - m\vec{v} = -3m\vec{v}$

Поскольку $\Delta \vec{p}_1 = \Delta \vec{p}_2$, изменение импульса второй частицы также равно $\Delta \vec{p}_2 = -3m\vec{v}$.

Изменение импульса второй частицы можно выразить через ее начальный ($\vec{p}_2$) и конечный ($\vec{p}'_2$) импульсы: $\Delta \vec{p}_2 = \vec{p}'_2 - \vec{p}_2$. Отсюда найдем конечный импульс второй частицы:

$\vec{p}'_2 = \vec{p}_2 + \Delta \vec{p}_2$

Начальный импульс второй частицы равен $\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2 = 2m\vec{v}_2$. Подставим все известные величины в выражение для конечного импульса:

$\vec{p}'_2 = 2m\vec{v}_2 + (-3m\vec{v}) = 2m\vec{v}_2 - 3m\vec{v}$

Конечная скорость второй частицы $\vec{v}'_2$ связана с ее конечным импульсом соотношением $\vec{p}'_2 = m_2 \vec{v}'_2 = 2m\vec{v}'_2$. Выразим отсюда $\vec{v}'_2$:

$\vec{v}'_2 = \frac{\vec{p}'_2}{2m} = \frac{2m\vec{v}_2 - 3m\vec{v}}{2m} = \vec{v}_2 - \frac{3}{2}\vec{v}$

Требуется найти модуль скорости $v'_2 = |\vec{v}'_2|$. По условию, начальные скорости частиц $\vec{v}$ и $\vec{v}_2$ перпендикулярны. Это означает, что векторы $\vec{v}_2$ и $-\frac{3}{2}\vec{v}$ также перпендикулярны. Модуль их векторной суммы можно найти по теореме Пифагора:

$v'_2 = |\vec{v}_2 - \frac{3}{2}\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v}_2|^2 + |-\frac{3}{2}\vec{v}|^2}$

Подставим модули скоростей: $|\vec{v}_2| = 2v$ и $|-\frac{3}{2}\vec{v}| = \frac{3}{2}v$.

$v'_2 = \sqrt{(2v)^2 + (\frac{3}{2}v)^2} = \sqrt{4v^2 + \frac{9}{4}v^2} = \sqrt{\frac{16v^2 + 9v^2}{4}} = \sqrt{\frac{25v^2}{4}} = \frac{5}{2}v = 2.5v$

Ответ: $2.5v$.