Номер 425, страница 82 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10 \text{ кг}$

$v_0 = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Удар упругий.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta p$ — модуль изменения импульса шарика для случаев:

а) $\alpha_1 = 90^\circ$

б) $\alpha_2 = 30^\circ$

Решение:

Изменение импульса тела определяется векторной разностью его конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p_0}$.

Импульс до удара $\vec{p_0} = m\vec{v_0}$, импульс после удара $\vec{p} = m\vec{v}$, где $\vec{v_0}$ и $\vec{v}$ — скорости шарика до и после удара соответственно.

Поскольку удар абсолютно упругий, кинетическая энергия сохраняется, а значит, модуль скорости шарика не меняется: $|\vec{v}| = |\vec{v_0}| = v_0$.

Для нахождения изменения импульса введем систему координат. Направим ось $Ox$ вдоль плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Угол $\alpha$, заданный в условии, — это угол между вектором скорости и плоскостью (осью $Ox$).

Разложим векторы скоростей на компоненты. До удара:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = -v_0 \sin\alpha$ (знак "минус" означает, что шарик движется к плоскости, против направления оси $Oy$).

При упругом отражении от гладкой плоскости компонента скорости, параллельная плоскости, не изменяется, а перпендикулярная компонента изменяет свой знак на противоположный:

$v_x = v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_y = -v_{0y} = -(-v_0 \sin\alpha) = v_0 \sin\alpha$

Теперь найдем проекции вектора изменения импульса $\Delta \vec{p} = m(\vec{v} - \vec{v_0})$:

$\Delta p_x = m(v_x - v_{0x}) = m(v_0 \cos\alpha - v_0 \cos\alpha) = 0$

$\Delta p_y = m(v_y - v_{0y}) = m(v_0 \sin\alpha - (-v_0 \sin\alpha)) = 2mv_0 \sin\alpha$

Вектор изменения импульса направлен перпендикулярно плоскости удара. Его модуль равен:

$\Delta p = |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{0^2 + (2mv_0 \sin\alpha)^2} = 2mv_0 \sin\alpha$

Используем эту общую формулу для решения задачи в обоих случаях.

а) Если направление скорости составляет с плоскостью угол $\alpha_1 = 90^\circ$ (удар по нормали), то модуль изменения импульса равен:

$\Delta p_1 = 2 \cdot m \cdot v_0 \cdot \sin\alpha_1 = 2 \cdot 0,10 \text{ кг} \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sin(90^\circ)$

Так как $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$\Delta p_1 = 2 \cdot 0,10 \cdot 1,0 \cdot 1 = 0,20 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $0,20 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

б) Если направление скорости составляет с плоскостью угол $\alpha_2 = 30^\circ$, то модуль изменения импульса равен:

$\Delta p_2 = 2 \cdot m \cdot v_0 \cdot \sin\alpha_2 = 2 \cdot 0,10 \text{ кг} \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = 0,5$, получаем:

$\Delta p_2 = 2 \cdot 0,10 \cdot 1,0 \cdot 0,5 = 0,10 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $0,10 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.