Номер 434, страница 84 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса вагона $m_1 = 50 \text{ т}$

Скорость вагона до сцепления $v_1 = 12 \text{ км/ч}$

Масса платформы $m_2 = 30 \text{ т}$

Коэффициент трения $\mu = 0.050$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 50 \cdot 1000 \text{ кг} = 5 \cdot 10^4 \text{ кг}$

$m_2 = 30 \cdot 1000 \text{ кг} = 3 \cdot 10^4 \text{ кг}$

$v_1 = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 12 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{120}{36} \text{ м/с} = \frac{10}{3} \text{ м/с}$

Найти:

Путь, пройденный вагоном и платформой после сцепления, $s$.

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение (сцепление) вагона и платформы и последующее движение сцепки до полной остановки под действием силы трения.

1. Найдем скорость вагона и платформы сразу после сцепления. Так как столкновение является неупругим, для системы "вагон-платформа" выполняется закон сохранения импульса. Ось $OX$ направим по движению вагона.

Суммарный импульс системы до столкновения: $p_{\text{до}} = m_1 v_1 + m_2 v_2$. Платформа покоится, поэтому $v_2 = 0$, и $p_{\text{до}} = m_1 v_1$.

После сцепления вагон и платформа движутся как единое целое с общей массой $M = m_1 + m_2$ и скоростью $u$. Суммарный импульс системы после столкновения: $p_{\text{после}} = (m_1 + m_2) u$.

Согласно закону сохранения импульса, $p_{\text{до}} = p_{\text{после}}$:

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда выразим скорость $u$ после сцепления:

$u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{5 \cdot 10^4 \text{ кг} \cdot \frac{10}{3} \text{ м/с}}{5 \cdot 10^4 \text{ кг} + 3 \cdot 10^4 \text{ кг}} = \frac{5 \cdot 10^4 \cdot \frac{10}{3}}{8 \cdot 10^4} = \frac{50}{24} = \frac{25}{12} \text{ м/с}$

2. Найдем путь, пройденный сцепкой до остановки. После сцепления система движется равнозамедленно под действием силы трения. По второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение $Ma = F_{\text{тр}}$.

Сила трения скольжения определяется как $F_{\text{тр}} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции. На горизонтальной поверхности $N = Mg = (m_1 + m_2)g$.

Тогда $F_{\text{тр}} = \mu(m_1 + m_2)g$.

Ускорение (замедление) сцепки равно: $a = \frac{F_{\text{тр}}}{M} = \frac{\mu(m_1 + m_2)g}{(m_1 + m_2)} = \mu g$. Так как ускорение направлено против движения, его проекция на ось движения будет $a_x = -\mu g$.

Для определения пути воспользуемся формулой кинематики, связывающей путь, скорости и ускорение: $s = \frac{v_k^2 - v_0^2}{2a_x}$.

Здесь начальная скорость $v_0 = u$, конечная скорость $v_k = 0$ (остановка), а ускорение $a_x = -\mu g$.

$s = \frac{0^2 - u^2}{2(-\mu g)} = \frac{u^2}{2\mu g}$

Подставим значения и вычислим путь:

$s = \frac{(\frac{25}{12} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0.050 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{\frac{625}{144}}{0.1 \cdot 9.8} = \frac{625}{144 \cdot 0.98} = \frac{625}{141.12} \approx 4.43 \text{ м}$

Ответ: $s \approx 4.43 \text{ м}$.