Номер 445, страница 86 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 10$ м/с

$m = 2,0$ кг

$v_1 = 9,5$ м/с

$M = 80$ кг

$h = 1,6$ м

Найти:

$l$ — ?

$L$ — ?

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из конькобежца и камня. На систему не действуют внешние горизонтальные силы, поэтому мы можем применить закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Ось направим в сторону движения конькобежца.

Импульс системы до броска: $p_{_0} = (M+m)v_0$.

Импульс системы после броска: $p_{_1} = Mv_1 + mv_2$, где $v_2$ — скорость камня относительно льда сразу после броска.

Согласно закону сохранения импульса, $p_{_0} = p_{_1}$:

$(M+m)v_0 = Mv_1 + mv_2$

Выразим из этого уравнения скорость камня $v_2$:

$mv_2 = (M+m)v_0 - Mv_1$

$v_2 = \frac{(M+m)v_0 - Mv_1}{m}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \frac{(80 \text{ кг} + 2,0 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с} - 80 \text{ кг} \cdot 9,5 \text{ м/с}}{2,0 \text{ кг}} = \frac{82 \cdot 10 - 80 \cdot 9,5}{2,0} \text{ м/с} = \frac{820 - 760}{2,0} \text{ м/с} = \frac{60}{2,0} \text{ м/с} = 30$ м/с.

Камень был брошен горизонтально, поэтому его движение является комбинацией равномерного движения по горизонтали со скоростью $v_2$ и свободного падения с высоты $h$ без начальной вертикальной скорости.

На каком расстоянии $l$ по горизонтали от места бросания упал камень?

Сначала найдем время полета камня $t$. Оно определяется только вертикальным движением:

$h = \frac{gt^2}{2}$

где $g$ — ускорение свободного падения. Примем $g = 10$ м/с².

Отсюда время полета $t$ равно:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{3,2}{10}} \text{ с} = \sqrt{0,32} \text{ с} = \sqrt{\frac{16 \cdot 2}{100}} \text{ с} = \frac{4\sqrt{2}}{10} \text{ с} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$ с.

За это время камень пролетит по горизонтали расстояние $l$, которое равно:

$l = v_2 \cdot t = 30 \text{ м/с} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{5} \text{ с} = 6 \cdot 2\sqrt{2} \text{ м} = 12\sqrt{2}$ м.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$l \approx 12 \cdot 1,414 = 16,968$ м.

С учетом точности исходных данных, округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: $l = 12\sqrt{2} \text{ м} \approx 17,0$ м.

Каким было в тот момент расстояние $L$ от конькобежца до точки падения камня?

В момент падения камня (через время $t$ после броска) конькобежец, продолжая двигаться со скоростью $v_1$, сместится на расстояние $l_1$ от точки броска:

$l_1 = v_1 \cdot t = 9,5 \text{ м/с} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{5} \text{ с} = 1,9 \cdot 2\sqrt{2} \text{ м} = 3,8\sqrt{2}$ м.

Точка падения камня находится на расстоянии $l$ от точки броска. Так как конькобежец и камень двигались в одном направлении, расстояние $L$ между положением конькобежца и точкой падения камня в этот момент будет равно разности их смещений относительно точки броска:

$L = l - l_1 = v_2 t - v_1 t = (v_2 - v_1)t$

Подставим значения:

$L = (30 \text{ м/с} - 9,5 \text{ м/с}) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{5} \text{ с} = 20,5 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{5} \text{ м} = 4,1 \cdot 2\sqrt{2} \text{ м} = 8,2\sqrt{2}$ м.

Вычислим приближенное значение:

$L \approx 8,2 \cdot 1,414 = 11,5948$ м.

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: $L = 8,2\sqrt{2} \text{ м} \approx 11,6$ м.