Номер 416, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два сообщающихся сосуда с площадями поперечного сечения $S_1$ и $S_2$.

Начальная разность уровней жидкости под поршнями: $h$.

При размещении груза на большем поршне разность уровней становится равной нулю.

Найти:

Разность уровней жидкости $H$ при перемещении груза на меньший поршень.

Решение:

Обозначим площади большего и меньшего поршней как $S_б$ и $S_м$ соответственно. Пусть их массы равны $m_б$ и $m_м$, масса груза — $m_г$, а плотность жидкости — $\rho$. Ускорение свободного падения — $g$.

1. Рассмотрим начальное состояние. Из-за разности давлений, создаваемых поршнями, возникает разность уровней $h$. Давления под поршнями равны $p_б = \frac{m_б g}{S_б}$ и $p_м = \frac{m_м g}{S_м}$. Разность этих давлений уравновешивается гидростатическим давлением столба жидкости высотой $h$.

2. Когда груз кладут на больший поршень ($S_б$), уровни жидкости выравниваются. Это означает, что давления под поршнями становятся равными:

$\frac{(m_б + m_г) g}{S_б} = \frac{m_м g}{S_м}$

Из этого равенства следует, что до добавления груза давление под меньшим поршнем было больше: $\frac{m_м g}{S_м} > \frac{m_б g}{S_б}$. Это означает, что в начальном состоянии уровень жидкости в сосуде с меньшим поршнем был ниже. Условие равновесия в начальном состоянии (на уровне нижнего поршня) записывается как:

$\frac{m_б g}{S_б} + \rho g h = \frac{m_м g}{S_м}$ (1)

Вернемся к уравнению с грузом на большем поршне: $\frac{m_б g}{S_б} + \frac{m_г g}{S_б} = \frac{m_м g}{S_м}$. Подставив сюда выражение для $\frac{m_м g}{S_м}$ из (1), получим:

$\frac{m_б g}{S_б} + \frac{m_г g}{S_б} = \frac{m_б g}{S_б} + \rho g h$

Сокращая, находим связь между массой груза и начальными параметрами:

$\frac{m_г g}{S_б} = \rho g h \implies m_г = \rho h S_б$ (2)

3. Теперь груз перекладывают на меньший поршень ($S_м$). Возникает новая разность уровней $H$. Давление под большим поршнем теперь равно $p'_б = \frac{m_б g}{S_б}$. Давление под меньшим поршнем с грузом равно $p'_м = \frac{(m_м + m_г) g}{S_м}$.

Очевидно, что $p'_м > p'_б$, поэтому уровень в сосуде с меньшим поршнем снова будет ниже. Новая разность уровней $H$ уравновесит разность давлений:

$\frac{m_б g}{S_б} + \rho g H = \frac{(m_м + m_г) g}{S_м} = \frac{m_м g}{S_м} + \frac{m_г g}{S_м}$

Выразим отсюда $\rho g H$:

$\rho g H = \left(\frac{m_м g}{S_м} - \frac{m_б g}{S_б}\right) + \frac{m_г g}{S_м}$

Из уравнения (1) мы знаем, что разность в скобках равна $\rho g h$. Подставим это:

$\rho g H = \rho g h + \frac{m_г g}{S_м}$

Разделим обе части на $\rho g$:

$H = h + \frac{m_г}{\rho S_м}$

Наконец, подставим выражение для массы груза $m_г$ из уравнения (2):

$H = h + \frac{\rho h S_б}{\rho S_м} = h + h \frac{S_б}{S_м}$

Вынесем $h$ за скобки:

$H = h \left(1 + \frac{S_б}{S_м}\right)$

Таким образом, искомая разность уровней зависит от начальной разности уровней и отношения площадей поршней. Если обозначить площади поршней $S_1$ и $S_2$, то в зависимости от того, какая из них больше, ответ будет иметь вид:

$H = h \left(1 + \frac{S_1}{S_2}\right)$, если $S_1 > S_2$

$H = h \left(1 + \frac{S_2}{S_1}\right)$, если $S_2 > S_1$

Ответ: Новая разность уровней жидкости будет $H = h \left(1 + \frac{S_б}{S_м}\right)$, где $S_б$ — площадь большего поршня, а $S_м$ — площадь меньшего.