Номер 411, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 40 \text{ мм}$

$V_1 = 0.25 \text{ л}$ (объем воды)

$V_2 = 0.25 \text{ л}$ (объем ртути)

Плотность воды (табличное значение) $\rho_1 = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность ртути (табличное значение) $\rho_2 = 13600 \text{ кг/м}^3$

В системе СИ:

$d = 0.04 \text{ м}$

$V_1 = V_2 = 0.25 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Когда в один из сообщающихся сосудов, содержащих ртуть, наливают воду, устанавливается гидростатическое равновесие. Давление столба воды в одном колене уравновешивается давлением избыточного столба ртути в другом колене. Искомая разность уровней $\Delta h$ — это разница между высотой уровня свободной поверхности воды в одном колене и высотой уровня свободной поверхности ртути в другом.

1. Найдем высоту столба воды $h_1$, который образуется из объема $V_1$. Площадь поперечного сечения трубки $S$ вычисляется по формуле площади круга:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Тогда высота столба воды равна:

$h_1 = \frac{V_1}{S} = \frac{4V_1}{\pi d^2}$

2. Согласно закону сообщающихся сосудов, давление столба воды $P_1 = \rho_1 g h_1$ на уровне границы раздела жидкостей равно давлению избыточного столба ртути $P_2 = \rho_2 g h_2'$ в другом колене. Здесь $h_2'$ — это разность уровней ртути в коленах.

Из условия равновесия $P_1 = P_2$ следует:

$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2'$

Отсюда находим $h_2'$:

$h_2' = h_1 \frac{\rho_1}{\rho_2}$

3. Разность уровней свободных поверхностей жидкостей в сосудах $\Delta h$ равна разности высоты столба воды $h_1$ и высоты избыточного столба ртути $h_2'$ над уровнем их общего раздела:

$\Delta h = h_1 - h_2' = h_1 - h_1 \frac{\rho_1}{\rho_2} = h_1 \left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right)$

4. Подставим числовые значения и выполним расчеты. Сначала вычислим высоту столба воды $h_1$:

$h_1 = \frac{4 \cdot 0.25 \times 10^{-3} \text{ м}^3}{\pi (0.04 \text{ м})^2} = \frac{10^{-3}}{\pi \cdot 0.0016} \text{ м} = \frac{1}{1.6\pi} \text{ м} \approx 0.1989 \text{ м}$

5. Теперь рассчитаем искомую разность уровней $\Delta h$:

$\Delta h \approx 0.1989 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{13600 \text{ кг/м}^3}\right) = 0.1989 \cdot \left(1 - \frac{1}{13.6}\right) \text{ м}$

$\Delta h \approx 0.1989 \cdot \left(\frac{12.6}{13.6}\right) \text{ м} \approx 0.1989 \cdot 0.9265 \text{ м} \approx 0.1843 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры и округлим: $0.1843 \text{ м} \approx 18.4 \text{ см}$.

Заметим, что заданный объем ртути $V_2$ не используется в расчетах, он лишь указывает на то, что ртути в сосуде достаточно для установления равновесия.

Ответ: $\Delta h \approx 18.4 \text{ см}$.