Номер 406, страница 77 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h$ – высота стакана

$l$ – длина нити

$l \gg h$

$\alpha = 90^\circ$ – начальный угол отклонения

$\rho$ – плотность воды

$g$ – ускорение свободного падения

Найти:

$p$ – давление жидкости на дно стакана в положении равновесия.

Решение:

Для определения скорости стакана в нижней точке траектории (положении равновесия) воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия.

В начальный момент времени, когда нить отклонена на угол $\alpha = 90^\circ$, стакан находится на высоте $l$ относительно положения равновесия. Его скорость равна нулю. Полная механическая энергия системы (стакан с водой) в этот момент является чисто потенциальной:

$E_1 = E_п = mgl$

где $m$ – общая масса стакана с водой.

В момент прохождения положения равновесия высота стакана над нулевым уровнем равна нулю, а скорость максимальна. Полная механическая энергия системы в этот момент является чисто кинетической:

$E_2 = E_к = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgl = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда находим квадрат скорости стакана в положении равновесия:

$v^2 = 2gl$

В момент прохождения положения равновесия стакан движется по дуге окружности радиусом $l$. Следовательно, он обладает центростремительным ускорением, направленным вертикально вверх (к точке подвеса):

$a = a_ц = \frac{v^2}{l}$

Подставим найденное значение $v^2$:

$a = \frac{2gl}{l} = 2g$

Давление на дно стакана складывается из гидростатического давления и давления, обусловленного ускоренным движением стакана. Рассмотрим систему отсчета, связанную со стаканом. Эта система неинерциальна, так как движется с ускорением $a$, направленным вверх. В этой системе отсчета на каждый элемент жидкости массой $\delta m$ действует сила инерции $F_и = \delta m \cdot a$, направленная противоположно ускорению, то есть вниз. Таким образом, эффективное ускорение, действующее на жидкость внутри стакана, равно сумме ускорения свободного падения и центростремительного ускорения:

$g_{эфф} = g + a = g + 2g = 3g$

Давление, создаваемое столбом жидкости высотой $h$ на дно стакана, определяется по формуле гидростатического давления, но с использованием эффективного ускорения $g_{эфф}$:

$p = \rho g_{эфф} h$

Подставляя значение $g_{эфф}$, получаем:

$p = \rho (3g) h = 3\rho gh$

Ответ:

Давление жидкости на дно стакана в момент, когда он проходит положение равновесия, равно $p = 3\rho gh$.