Номер 409, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Для решения этой задачи проанализируем, как изменится давление в каждом из сообщающихся сосудов. Изначально система находится в равновесии, а это значит, что уровни воды в обоих сосудах одинаковы, и, как следствие, уровни ртути (границы раздела вода-ртуть) также находятся на одной высоте.

Случай одинаковых сечений сосудов ($S_1 = S_2 = S$)

Рассмотрим, какие изменения происходят в каждом сосуде.

В первый сосуд опускают кусочек дерева весом $P$. Поскольку дерево плавает в воде, оно вытесняет объём воды, вес которого равен весу самого дерева (закон Архимеда). Это означает, что на поверхность жидкости в первом сосуде действует дополнительная сила, равная весу дерева $P$. Эта сила распределяется по площади сечения сосуда $S$. Таким образом, на жидкость в первом сосуде создаётся дополнительное давление $\Delta p_1$, равное:

$\Delta p_1 = \frac{P}{S}$

Во второй сосуд доливают воду, вес которой также равен $P$. Эта добавленная вода точно так же создаёт дополнительную силу $P$ на поверхность жидкости, которая распределяется по площади $S$. Дополнительное давление во втором сосуде $\Delta p_2$ составит:

$\Delta p_2 = \frac{P}{S}$

Поскольку площади сечения сосудов одинаковы ($S_1 = S_2 = S$), то и дополнительные давления, созданные в обоих сосудах, равны: $\Delta p_1 = \Delta p_2$.

Так как на столбы жидкости в обоих сосудах было оказано одинаковое дополнительное давление, их взаимное равновесие не нарушится. Уровни ртути останутся на одной высоте, и уровни воды также останутся одинаковыми. При этом стоит отметить, что абсолютные уровни всех жидкостей поднимутся из-за добавления объёма (в первом случае — объёма вытесненной воды, во втором — объёма добавленной воды), но равенство уровней в сосудах сохранится.

Ответ: Да, в случае одинаковых сечений сосудов уровни воды и ртути в обоих сосудах будут одинаковы.

Случай разных сечений сосудов ($S_1 \neq S_2$)

Пусть площадь сечения первого сосуда, в который опускают дерево, равна $S_1$, а второго, куда доливают воду, — $S_2$.

Аналогично первому случаю, в первом сосуде создаётся дополнительное давление:

$\Delta p_1 = \frac{P}{S_1}$

А во втором сосуде:

$\Delta p_2 = \frac{P}{S_2}$

Поскольку по условию $S_1 \neq S_2$, то и дополнительные давления будут разными: $\Delta p_1 \neq \Delta p_2$.

Возникшая разность давлений нарушит равновесие. Ртуть начнёт перетекать из области с большим давлением в область с меньшим давлением до тех пор, пока разница в высоте столбов ртути не скомпенсирует эту разность давлений. Это означает, что уровни ртути в сосудах станут разными. Пусть новые уровни границы раздела вода-ртуть — $z_1$ и $z_2$. Очевидно, что $z_1 \neq z_2$.

Теперь рассмотрим уровни воды $h_1$ и $h_2$. Условие равновесия для сообщающихся сосудов с двумя несмешивающимися жидкостями можно записать, приравняв давления на уровне нижней границы раздела (например, на уровне $z_2$, если $z_1 > z_2$).

$p_{atm} + \rho_в g (h_1 - z_1) + \rho_{рт} g (z_1 - z_2) = p_{atm} + \rho_в g (h_2 - z_2)$

где $\rho_в$ — плотность воды, а $\rho_{рт}$ — плотность ртути. Упростив выражение, получим:

$\rho_в (h_1 - h_2) = (\rho_{рт} - \rho_в)(z_2 - z_1)$

Мы уже установили, что уровни ртути будут разными, то есть $z_1 \neq z_2$, следовательно, $(z_2 - z_1) \neq 0$. Так как плотности ртути и воды также различны $(\rho_{рт} - \rho_в) \neq 0$, правая часть уравнения не равна нулю.

Это означает, что и левая часть уравнения не может быть равна нулю, то есть $\rho_в (h_1 - h_2) \neq 0$, из чего следует, что $h_1 \neq h_2$. Таким образом, уровни воды в сосудах также будут разными.

Ответ: Нет, в случае разных сечений сосудов ни уровни воды, ни уровни ртути не будут одинаковыми.