Номер 404, страница 77 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$h = 1,0 \text{ м}$
$p = 84 \text{ кПа} = 84 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$v = 0,24 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 0,24 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 240 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$\rho \approx 700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность бензина)
$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$R$

Решение

Давление на дно бака в нижней точке «мертвой петли» создается двумя составляющими: гидростатическим давлением столба бензина и давлением, обусловленным центростремительным ускорением самолета. В системе отсчета, связанной с самолетом, на бензин действует сила тяжести и инерционная (центробежная) сила. В нижней точке траектории обе эти силы направлены вниз, к дну бака.

Таким образом, эффективное ускорение, действующее на бензин, равно сумме ускорения свободного падения $g$ и центростремительного ускорения $a_c$:
$a_{эфф} = g + a_c$

Центростремительное ускорение определяется по формуле:
$a_c = \frac{v^2}{R}$
где $v$ — скорость самолета, а $R$ — радиус петли.

Давление жидкости на дно бака можно рассчитать по формуле гидростатического давления, используя эффективное ускорение:
$p = \rho \cdot a_{эфф} \cdot h = \rho (g + a_c) h$

Подставим выражение для центростремительного ускорения:
$p = \rho (g + \frac{v^2}{R}) h$

Выразим из этой формулы радиус $R$:
$\frac{p}{\rho h} = g + \frac{v^2}{R}$
$\frac{v^2}{R} = \frac{p}{\rho h} - g$
$R = \frac{v^2}{\frac{p}{\rho h} - g}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:
$R = \frac{(240 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{\frac{84000 \text{ Па}}{700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,0 \text{ м}} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{57600 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{120 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{57600 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{110 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \approx 523,6 \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $R \approx 520$ м, или до трех $R \approx 524$ м.

Ответ: $R \approx 524 \text{ м}$.