Номер 410, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 32 \text{ см}$

$\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$ (плотность ртути)

$\rho_{к} = 800 \text{ кг/м}^3$ (плотность керосина)

Перевод в систему СИ:
$h = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h$ - разность уровней ртути.

Решение:

Рассмотрим систему после того, как в один сосуд налили воду, а затем оба сосуда доверху заполнили керосином. В сообщающихся сосудах давление на любом горизонтальном уровне в покоящейся жидкости одинаково. Выберем в качестве такого уровня границу раздела между ртутью и другими жидкостями в том сосуде, где уровень ртути ниже (это сосуд, в который наливали воду).

Пусть $P_1$ — давление в левом сосуде (с водой) на этом уровне, а $P_2$ — давление в правом сосуде на этом же уровне. Условие равновесия: $P_1 = P_2$.

Давление $P_1$ создается столбом воды высотой $h$ и столбом керосина высотой $h_{к1}$ над ним. Давление $P_2$ создается столбом ртути высотой $\Delta h$ (искомая разность уровней) и столбом керосина высотой $h_{к2}$ над ним. Атмосферное давление одинаково для обоих сосудов, поэтому его можно не учитывать при записи уравнения для гидростатического давления.

Уравнение баланса давлений, создаваемых столбами жидкостей, имеет вид:

$\rho_{в} g h + \rho_{к} g h_{к1} = \rho_{рт} g \Delta h + \rho_{к} g h_{к2}$

где $g$ - ускорение свободного падения.

Так как оба сосуда имеют одинаковую высоту $H$ и залиты доверху, то общая высота столбов жидкостей над выбранным нами уровнем в обоих сосудах одинакова. В левом сосуде эта высота складывается из высоты столба воды и керосина: $h + h_{к1}$. В правом сосуде — из высоты столба ртути и керосина: $\Delta h + h_{к2}$.

Следовательно, $h + h_{к1} = \Delta h + h_{к2}$, откуда $h_{к1} - h_{к2} = \Delta h - h$.

Сократим $g$ в уравнении давлений и преобразуем его:

$\rho_{в} h - \rho_{рт} \Delta h = \rho_{к} h_{к2} - \rho_{к} h_{к1}$

$\rho_{в} h - \rho_{рт} \Delta h = \rho_{к} (h_{к2} - h_{к1})$

Подставим выражение для $h_{к1} - h_{к2}$:

$\rho_{в} h - \rho_{рт} \Delta h = \rho_{к} (-(\Delta h - h))$

$\rho_{в} h - \rho_{рт} \Delta h = -\rho_{к} \Delta h + \rho_{к} h$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\Delta h$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\rho_{в} h - \rho_{к} h = \rho_{рт} \Delta h - \rho_{к} \Delta h$

$h (\rho_{в} - \rho_{к}) = \Delta h (\rho_{рт} - \rho_{к})$

Отсюда выразим искомую разность уровней ртути $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{\rho_{в} - \rho_{к}}{\rho_{рт} - \rho_{к}} h$

Подставим числовые значения:

$\Delta h = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3}{13600 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3} \cdot 0.32 \text{ м} = \frac{200}{12800} \cdot 0.32 \text{ м} = \frac{1}{64} \cdot 0.32 \text{ м} = 0.005 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$0.005 \text{ м} = 0.5 \text{ см}$

Ответ: $0.5 \text{ см}$.