Номер 415, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_1 = 10$ см

$h_2 = 15$ см

Плотность воды $\rho_в \approx 1000$ кг/м$^3$

Плотность ртути $\rho_{рт} \approx 13600$ кг/м$^3$

$h_1 = 0.1$ м

$h_2 = 0.15$ м

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Изначально уровень ртути во всех трех одинаковых сообщающихся сосудах был одинаков. После добавления воды в левый и правый сосуды система придет в новое равновесие. Давление столбов воды заставит ртуть опуститься в левом и правом сосудах и подняться в среднем сосуде.

Обозначим понижение уровня ртути в левом сосуде как $\Delta h_1$, в правом — как $\Delta h_2$, а повышение уровня в среднем сосуде — как $\Delta h$. Так как сосуды имеют одинаковую площадь поперечного сечения $S$, то из закона сохранения объема ртути следует, что объем ртути, ушедший из крайних сосудов, равен объему, пришедшему в средний сосуд:

$S \cdot \Delta h_1 + S \cdot \Delta h_2 = S \cdot \Delta h$

Сократив $S$, получаем первое уравнение для наших неизвестных:

$\Delta h_1 + \Delta h_2 = \Delta h$

В состоянии равновесия давление на любом горизонтальном уровне в сообщающихся сосудах одинаково. Выберем в качестве такого уровня начальный уровень ртути. Давление на этом уровне в каждом из трех сосудов будет одинаковым.

Давление в левом сосуде на этом уровне ($P_1$) складывается из атмосферного давления ($P_{атм}$), давления столба воды высотой $h_1$ и давления столба ртути высотой $\Delta h_1$ (так как уровень ртути опустился на $\Delta h_1$):

$P_1 = P_{атм} + \rho_в g h_1 + \rho_{рт} g \Delta h_1$

Давление в правом сосуде на этом же уровне ($P_2$):

$P_2 = P_{атм} + \rho_в g h_2 + \rho_{рт} g \Delta h_2$

Давление в среднем сосуде ($P_3$), где находится только ртуть, уровень которой поднялся на $\Delta h$:

$P_3 = P_{атм} + \rho_{рт} g \Delta h$

Так как $P_1 = P_3$ и $P_2 = P_3$, мы можем приравнять гидростатические части давлений:

1) $\rho_в g h_1 + \rho_{рт} g \Delta h_1 = \rho_{рт} g \Delta h \implies \rho_в h_1 + \rho_{рт} \Delta h_1 = \rho_{рт} \Delta h$

2) $\rho_в g h_2 + \rho_{рт} g \Delta h_2 = \rho_{рт} g \Delta h \implies \rho_в h_2 + \rho_{рт} \Delta h_2 = \rho_{рт} \Delta h$

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными $\Delta h_1$, $\Delta h_2$ и $\Delta h$. Сложим уравнения (1) и (2):

$\rho_в (h_1 + h_2) + \rho_{рт} (\Delta h_1 + \Delta h_2) = 2 \rho_{рт} \Delta h$

Теперь подставим в это уравнение ранее полученное соотношение $\Delta h_1 + \Delta h_2 = \Delta h$:

$\rho_в (h_1 + h_2) + \rho_{рт} \Delta h = 2 \rho_{рт} \Delta h$

Отсюда выразим искомую величину $\Delta h$:

$\rho_в (h_1 + h_2) = \rho_{рт} \Delta h$

$\Delta h = \frac{\rho_в}{\rho_{рт}}(h_1 + h_2)$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\Delta h = \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{13600 \text{ кг/м}^3} (0.1 \text{ м} + 0.15 \text{ м}) = \frac{1}{13.6} \cdot 0.25 \text{ м} \approx 0.0184 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.0184 \text{ м} = 1.84 \text{ см}$.

Ответ:

повышение уровня ртути в третьем сосуде составляет $\Delta h \approx 1.84$ см.