Номер 413, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d_2 = 4d_1$

$h = 70$ см

Плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³

Плотность ртути $\rho_{рт} = 13600$ кг/м³

$h = 70$ см $= 0.7$ м

Найти:

$\Delta h_1$, $\Delta h_2$

Решение:

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади поперечного сечения сосуда меньшего диаметра и сосуда большего диаметра соответственно. Так как диаметр одного сосуда в четыре раза больше другого ($d_2 = 4d_1$), то соотношение их площадей будет:

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (4d_1)^2}{4} = 16 \cdot \frac{\pi d_1^2}{4} = 16 S_1$

Когда в сосуд меньшего диаметра (сосуд 1) наливают воду, уровень ртути в нем опускается на величину $\Delta h_1$, а в сосуде большего диаметра (сосуд 2) — поднимается на величину $\Delta h_2$. Поскольку ртуть — несжимаемая жидкость, объем ртути, ушедшей из первого сосуда, равен объему ртути, пришедшему во второй. Это условие сохранения объема записывается как:

$V_1 = V_2$

$S_1 \cdot \Delta h_1 = S_2 \cdot \Delta h_2$

Подставим в это уравнение соотношение площадей $S_2 = 16 S_1$:

$S_1 \cdot \Delta h_1 = 16 S_1 \cdot \Delta h_2$

Сократив $S_1$, получаем первое уравнение, связывающее изменения уровней:

$\Delta h_1 = 16 \Delta h_2$ (1)

После установления равновесия гидростатическое давление на любом горизонтальном уровне внутри жидкости должно быть одинаковым. В качестве уровня сравнения выберем итоговый уровень границы раздела воды и ртути в сосуде меньшего диаметра. Давление, создаваемое столбом воды высотой $h$ в этом сосуде, уравновешивается давлением избыточного столба ртути в другом сосуде. Высота этого столба ртути равна разности установившихся уровней ртути в сосудах, то есть $\Delta h_{общ} = \Delta h_1 + \Delta h_2$.

Запишем условие равенства давлений (не учитывая атмосферное, так как оно действует на оба сосуда):

$P_в = P_{рт}$

$\rho_в g h = \rho_{рт} g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Сократив на ускорение свободного падения $g$, получим второе уравнение:

$\rho_в h = \rho_{рт} (\Delta h_1 + \Delta h_2)$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $\Delta h_1$ из (1) в (2):

$\rho_в h = \rho_{рт} (16 \Delta h_2 + \Delta h_2)$

$\rho_в h = 17 \rho_{рт} \Delta h_2$

Отсюда выразим $\Delta h_2$ — изменение уровня в сосуде большего диаметра:

$\Delta h_2 = \frac{\rho_в h}{17 \rho_{рт}}$

Подставим числовые значения:

$\Delta h_2 = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.7 \text{ м}}{17 \cdot 13600 \text{ кг/м}^3} = \frac{700}{231200} \text{ м} \approx 0.00303$ м

Теперь найдем $\Delta h_1$ — изменение уровня в сосуде меньшего диаметра — из уравнения (1):

$\Delta h_1 = 16 \Delta h_2 = 16 \cdot 0.00303 \text{ м} \approx 0.0484$ м

Переведем полученные значения в сантиметры:

$\Delta h_1 \approx 4.84$ см

$\Delta h_2 \approx 0.30$ см

Ответ: уровень ртути в сосуде меньшего диаметра опустится на $\Delta h_1 \approx 4.84$ см, а в сосуде большего диаметра поднимется на $\Delta h_2 \approx 0.30$ см.