Номер 412, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 8,0 \, \text{см}^2$

$m = 0,27 \, \text{кг}$

Плотность ртути $\rho_р = 13600 \, \text{кг/м}^3$

Плотность воды $\rho_в = 1000 \, \text{кг/м}^3$

$S = 8,0 \, \text{см}^2 = 8,0 \cdot (10^{-2} \, \text{м})^2 = 8,0 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2$

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Согласно закону сообщающихся сосудов, давление на любом горизонтальном уровне в однородной покоящейся жидкости одинаково. После добавления воды в широкую трубку система придет в равновесие.

Рассмотрим горизонтальный уровень, соответствующий границе раздела воды и ртути в широкой трубке. Давление в обеих трубках на этом уровне должно быть одинаковым.

В широкой трубке давление на этом уровне создается столбом воды высотой $h_в$. Это гидростатическое давление равно:

$p_в = \rho_в g h_в$

В узкой трубке на том же уровне давление создается столбом ртути, высота которого равна разности уровней ртути в трубках $\Delta h$. Это давление равно:

$p_р = \rho_р g \Delta h$

В состоянии равновесия эти давления равны:

$p_в = p_р$

$\rho_в g h_в = \rho_р g \Delta h$

Сократим на $g$ (ускорение свободного падения):

$\rho_в h_в = \rho_р \Delta h$

Высоту столба воды $h_в$ можно найти, зная массу налитой воды $m$ и площадь сечения широкой трубки $S$. Объем воды $V_в = S \cdot h_в$. С другой стороны, масса воды $m = \rho_в \cdot V_в$. Подставляя выражение для объема, получаем:

$m = \rho_в S h_в$

Отсюда выражаем высоту столба воды:

$h_в = \frac{m}{\rho_в S}$

Теперь подставим это выражение для $h_в$ в уравнение равновесия давлений:

$\rho_в \cdot \frac{m}{\rho_в S} = \rho_р \Delta h$

$\frac{m}{S} = \rho_р \Delta h$

Из этого уравнения выразим искомую разность уровней ртути $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{m}{S \cdot \rho_р}$

Подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$\Delta h = \frac{0,27 \, \text{кг}}{8,0 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot 13600 \, \text{кг/м}^3} = \frac{0,27}{10,88} \, \text{м} \approx 0,0248 \, \text{м}$

Переведем результат в сантиметры, чтобы он был более наглядным:

$0,0248 \, \text{м} = 2,48 \, \text{см}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные ($S$ и $m$) даны с двумя значащими цифрами.

$\Delta h \approx 2,5 \, \text{см}$

Ответ: разность уровней ртути в узкой и широкой трубке составляет примерно $2,5 \, \text{см}$.